4．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，k
3)，双曲线y＝(x>0)经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.
x
(1)求k的值及点E的坐标；
(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB对应的函数解析式．
(第4题)
专训5 全章热门考点整合应用
名师点金：
本章主要内容为：平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，位似图形及其画法等，涉及考点、考法较多，是中考的高频考点．其主要考点可概括为：3个概念、2个性质、1个判定、2个应用、1个作图、1个技巧．
3个概念
概念1：成比例线段
1．下列各组线段，是成比例线段的是( ) A．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm B．2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cm C．3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cm D．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
2．有一块三角形的草地，它的一条边长为25 m，在图纸上，这条边的长为5 cm，其他两条边的长都为4 cm，则其他两边的实际长度都是________m.
概念2：相似多边形
3．如图，已知∠1′＝∠1，∠2′＝∠2，∠3′＝∠3，∠4′＝∠4，∠D′＝∠D，试判断四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是否相似，并说明理由．
(第3题)
概念3：位似图形
4．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边放大到原来的2倍，记所得的像是△A′B′C.设点B的对应点B′的坐标是(a，b)，求点B的坐标．
(第4题)
2个性质
性质1：平行线分线段成比例的性质
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y.
(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？
(第5题)
性质2：相似三角形的性质
6．如图，已知D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与BA相交于点E，EC与AD相交于点F.
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
(第6题)
1个判定——相似三角形的判定
7．如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE＝CD，连接AE，过C作CO⊥AB于O.求证：△ACE∽△OCD.
(第7题)
8.如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过点C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为点E.设P是上异于点A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.
(1)求证：△PAC∽△PDF；
(2)若AB＝5，＝，求PD的长．
(第8题)
2个应用
应用1：测高的应用
9．如图，在离某建筑物CE 4 m处有一棵树AB，在某时刻，1.2 m的竹竿FG垂直地面放置，影子GH长为2 m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2 m，那么这棵树的高度是多少？
(第9题)
应用2：测宽的应用
10．如图，一条小河的两岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵
树，在河的对岸每隔60 m有一根电线杆，在有树的一岸离岸边30 m处可看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．
(第10题)
1个作图——作一个图形的位似图形
11．如图，在方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位长度)有一点O和△ABC.请以点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的一半(不改变方向)，画出△ABC的位似图形．
(第11题)
1个技巧 ——证明四条线段成比例的技巧
12．如图，已知△ABC，∠BAC的平分线与∠DAC的平分线分别交BC及BC的延长线于点P，Q.
(1)求∠PAQ的度数；
(2)若点M为PQ的中点，求证：PM2＝CM·BM.
(第12题)
答案
专训1
(第1题)
1．证明：如图，过点C作CM∥AB交DF于点M. ∵CM∥AB，∴△CMF∽△BDF. BFBD∴＝. CFCM
又∵CM∥AD，∴△ADE∽△CME.∴
AEAD
＝.∵D为AB的中点， ECCM
BDADBFAE
∴＝.∴＝，即AE·CF＝BF·EC. CMCMCFEC2．证明：过点D作DG∥BC，交AC于点G， ∴△DGF∽△ECF，△ADG∽△ABC. ∴
EFCEABAD＝，＝. DFDGBCDG
CEADABEF＝.∴＝， DGDGBCDF
∵AD＝CE，∴
即AB·DF＝BC·EF.
点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．
3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形． ∴AE∥DC，∠A＝∠C.∴∠CDF＝∠E，
∴△DAE∽△FCD，∴
DCCF＝. AEAD
4．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°. ∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.
又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，∴BM＝AM. ∴∠B＝∠BAM.∴∠BAM＝∠D.
又∵∠AME＝∠DMA.∴△AME∽△DMA. ∴
AMME
＝.∴AM2＝MD·ME. MDAM
【人教版】九年级数学下册《相似》单元训练(含答案)
