单元综合测试一(第一章综合测试)
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题(每小题5分，共60分) 1．下列命题中是假命题的是( B ) A．等边三角形的三个内角均为60° B．若x＋y是有理数，则x，y都是有理数 C．集合A＝{0,1}的真子集有3个
D．若b≤－1，则方程x－2bx＋b＋b＝0有实数根
解析：对于A，由平面几何知识可知A是真命题；对于B，取x＝3，y＝－3可知x＋y＝0是有理数，显然x，y都是无理数，故B是假命题；对于C，集合A＝{0,1}的所有真子集是?，{0}，{1}，共有3个，故C是真命题；对于D，由b≤－1知Δ＝4b－4(b＋b)＝－4b>0，所以D是真命题，故选B.
2．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( C ) A．充要条件 C．必要不充分条件 充分条件．
3．给出命题：若函数y＝f(x)为对数函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( D )
A．3 C．1
B．2 D．0
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
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解析：由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不
解析：由于对数函数的图像过第四象限，故原命题为假命题，其逆否命题也为假命题．其逆命题“若函数y＝f(x)的图像不过第四象限，则函数y＝f(x)为对数函数”显然也为假命题．故原命题的否命题也是假命题．故选D.
4．命题p：对任意x∈R，都有x－2x＋2≤sinx成立，则命题p的否定是( C ) A．不存在x∈R，使x－2x＋2>sinx成立 B．存在x∈R，使x－2x＋2≥sinx成立 C．存在x∈R，使x－2x＋2>sinx成立 D．对任意x∈R，都有x－2x＋2>sinx成立
解析：全称命题的否定必为特称命题，因此否定全称命题时，要改全称量词为存在量词，同时还要否定结论，故选C.
5．命题“若A?B，则A＝B”与其互为逆命题、否命题、逆否命题的这四个命题中，真命题的个数是( B )
A．0 C．3
B．2 D．4
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解析：本题是从集合的角度考查四种命题，利用四种命题的定义写出逆命题、否命题、
逆否命题，然后判断其真假．
6．已知“命题p：存在x∈R，使得ax＋2x＋1<0成立”为真命题，则实数a满足( B ) A．[0,1) C．[1，＋∞)
B．(－∞，1) D．(－∞，1]
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12解析：若a＝0时，不等式ax＋2x＋1<0等价为2x＋1<0，解得x<－，结论成立．当a≠0
2时，令f(x)＝ax＋2x＋1，要使ax或a<0，综上a<1，选B.
7．下列结论中，正确的为( B )
①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件； ②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件； ③“p或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件； ④“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件． A．①② C．②④
解析：可以利用真值表进行判断． 8．有关下列命题的说法正确的是( D )
A．命题“若x＝1，则x＝1”的否命题为“若x＝1，则x≠1” B．“x＝－1”是“x－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“存在x∈R，使得x＋x＋1<0”的否定是“任意x∈R，均有x＋x＋1<0” D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题
解析：“若x＝1，则x＝1”的否命题为“若x≠1，则x≠1”，∴A错误．若x－5x－6＝0，则x＝6或x＝－1，∴“x＝－1”是“x－5x－6＝0”的充分不必要条件，∴B错误．“存在x∈R，使得x＋x＋1<0”的否定是“任意x∈R，均有x＋x＋1≥0”，∴C错误．命题“若x＝y，则sinx＝siny”正确，∴“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题也正确，∴选D.
9．命题“任意x∈[1,2]，x－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( C ) A．a≥4 C．a≥5
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??a>0，
＋2x＋1<0成立，则满足?
?Δ>0，?
或a<0，解得0 B．①③ D．③④ B．a≤4 D．a≤5 2 2 解析：命题“任意x∈[1,2]，x－a≤0”为真命题，可转化为任意x∈[1,2]，a≥x恒成立，即只需a≥(x)max＝4，即“任意x∈[1,2]，x－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，只有C选项符合题意． 10．若不等式(a－2)x＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是( C ) A．(－∞，2] C．(－2,2] B．(－2,2) D．(－∞，－2) 2 解析：a＝2时，显然成立；当a≠2时，须满足 ??a－2<0， ? ?Δ<0?4? a－2 2 ＋16a－2<0 ?－2 综上可知：－2 11．若存在x∈R，使|x＋2|＋|x－1| B．[3，＋∞) D．(－∞，3) 解析：∵存在x∈R，|x＋2|＋|x－1| <0}，B＝{x||x－b| B．0 的取值范围是( D ) A．－2≤b<0 C．－3 解析：若直接求解较麻烦，可采用排除法． 当b＝0时，B＝{x||x|<1}＝{x|－1 43 13．已知角A是△ABC的内角，则“sinA＝”是“cosA＝”的必要不充分条件． 5543 解析：因为角A可能为锐角或为钝角，因此由“sinA＝”不一定得到“cosA＝”，但 553443 “cosA＝”一定能得到“sinA＝”，故“sinA＝”是“cosA＝”的必要不充分条件． 5555 14．已知p(x)：x＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是[3,8)． 解析：p(1)：3－m>0，即m<3，p(2)：8－m>0，即m<8，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则3≤m<8. 15．给定下列命题： ①若k>0，则方程x＋2x－k＝0有实数根；②“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是①②④. 解析：①∵判别式Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0， ∴①是真命题． ②否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，是真命题． ③逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”，是假命题． ④否命题为“若xy≠0，则x，y都不为0”是真命题． 16．已知p：－4 解析：p：－4 ??a－4≤2， 充分条件，即綈p?綈q，它的等价命题是q?p.所以? ??a＋4≥3， 22 解得－1≤a≤6. 三、解答题(共74分) 17．(本题满分12分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题、否命 题和逆否命题，同时判断它们的真假． (1)平行于同一条直线的两条直线平行； (2)正偶数不是素数． 解：(1)“若p，则q”的形式：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行，是真命题． 逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线，是真命题． 否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行，是真命题． 逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线，是真命题． (2)“若p，则q”的形式：若一个数是正偶数，则这个数不是素数，是假命题． 逆命题：若一个数不是素数，则这个数是正偶数，是假命题． 否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是素数，是假命题． 逆否命题：若一个数是素数，则这个数不是正偶数，是假命题． 18．(本题满分12分)写出下列命题的否定： (1)a、b、c都相等； (2)任何三角形的外角都至少有两个钝角； (3)(x－2)(x＋5)>0. 解：(1)a、b、c不都相等，即a、b、c中至少有两个不相等． (2)存在一个三角形，其外角最多有一个是钝角． (3)解法1：因为(x－2)(x＋5)>0表示x<－5或x>2， 所以它的否定是x≥－5且x≤2，即－5≤x≤2. 解法2：(x－2)(x＋5)>0的否定是(x－2)(x＋5)≤0，即－5≤x≤2. 19．(本题满分12分)已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0}，B＝{x|x－mx＋1＝0}，若A是B的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 解：化简条件得A＝{1,2}，A是B的必要不充分条件，BA. 集合B中的元素个数需分类讨论，B＝?，B＝{1}或{2}． 当B＝?时，Δ＝m－4<0， ∴－2 ??Δ＝m－4＝0， 当B＝{1}或{2}时，? ??1－m＋1＝0??Δ＝m－4＝0， 或? ?4－2m＋1＝0，? 2 2 2 2 2 解得m＝2； 综上所述，m的取值范围为(－2,2]． 20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝lg[(a－1)x＋(a＋1)x＋1]，设命题p：“f(x)的定义域为R”，命题q：“f(x)的值域为R”． (1)分别求命题p，q为真时实数a的取值范围； (2)綈p是q的什么条件？请说明理由． 解：(1)命题p为真，即f(x)的定义域是R等价于(a－1)x＋(a＋1)x＋1>0恒成立，等 2 2 2 2 ??a－1>0， 价于a＝－1或? ?Δ＝a＋1? 2 2 －4a－1<0， 2 5 解得a≤－1或a>，∴实数a的取值范 3 5 围为(－∞，－1]∪(，＋∞)． 3 命题q为真，即f(x)的值域是R，等价于u＝(a－1)x＋(a＋1)x＋1的值域A?(0，＋ ??a－1>0， ∞)，等价于a＝1或? ?Δ＝a＋1? 2 2 2 2 2 －4a－1≥0， 5 解得1≤a≤， 3 5 ∴实数a的取值范围为[1，]． 3(2)綈p是q的必要不充分条件．理由： 55 由(1)知，綈p：a∈(－1，]，q：a∈[1，]． 335 而(－1，] 3 5[1，]， 3 ∴綈p是q的必要不充分条件． 21．(本题满分13分)已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件． 证明：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切． 要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性(p?q)和必要性(q?p)即可． 充分性(p?q)：如图所示，过点O作OP⊥l于点P，则OP＝d.若d＝r，则点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP＝r，所以除点P外，直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P.因此，直线l与⊙O相切． 必要性(q?p)：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则PO⊥l.因此，d＝OP＝r. 综上可知，d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件． 22．(本题满分13分)已知两个命题：r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x＋mx＋1>0.如果对任意x∈R，r(x)且s(x)为假命题，r(x)或s(x)为真命题，求实数m的取值范围． 解：由题意知：对任意x∈R，r(x)与s(x)有且只有一个是真命题． π ∵sinx＋cosx＝2sin(x＋)≥－2， 4∴当r(x)是真命题时，m<－2. 又∵对任意x∈R，s(x)是真命题时，x＋mx＋1>0恒成立， ∴Δ＝m－4<0，∴－2 ∴当对任意x∈R，r(x)为真，s(x)为假时， 有? 2 2 2 ?m<－2， ?m≤－2或m≥2，
2020_2021学年高中数学第一章常用逻辑用语综合测试课时作业含解析北师大版选修2_1
