2.1.2 指数函数及其性质（3）
从容说课
指数函数作为一类基本的初等函数，同时也是与我们生活联系比较密切的函数模型，它虽然不具有函数的通性中的奇偶性，但它却可以和其他的初等函数复合在一起构成具有比较复杂的单调性的函数，同时也可以复合出一些比较特殊的奇函数和偶函数.
讨论含有指数式的比较复杂的函数的单调性和奇偶性是本课的教学重点.将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题以及在解决具体实际问题中目标函数模型的确立、目标函数的定义域的确立是本课的教学难点.
判断复合函数的单调性时常按照定义进行，并且首先要判断定义域是否关于原点对称.有时也可将所给函数转化为两个或多个基本初等函数的复合函数，进而通过讨论每个基本初等函数的单调性确定所求复合函数的单调性.
判断复合函数的奇偶性时，往往要进行通分，这样可以得到比较对称的形式，同时在证明函数的单调性或求函数的值域时往往要进行常数分离.
另外，结合图形往往使得解题更加的简单，特别是在分析题目时，图形有助于我们的思考，找到解题思路.
解决具体实际问题时，为了更快、更准确地确定目标函数模型，可以先由特殊的情况开始，多列举几种情形，分析、观察、寻找其中的规律，确立目标函数模型，同时也应根据具体问题的实际意义确定函数的定义域.
三维目标
一、知识与技能
1.能根据指数函数的性质解决有关函数单调性、奇偶性的讨论问题. 2.注意指数函数的底数的讨论. 二、过程与方法 1.通过师生之间、学生与学生之间的互相交流，使学生成为一个会与别人共同学习的人. 2.通过探索比较复杂函数与简单初等函数的关系，培养学生的利用化归思想解决问题的能力.
三、情感态度与价值观
1.通过讨论比较复杂的函数的单调性、奇偶性，使学生感知知识之间的有机联系，感受数学的整体性，感受并体会数学中的化归思想的巨大作用及其在生活中对处理生活琐事的指导作用，激发学生的学习兴趣.
2.在教学过程中，通过学生的相互交流，增强学生数学交流能力，合作学习的能力，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质.
教学重点
讨论含有指数式的比较复杂的函数的单调性和奇偶性. 教学难点
将讨论复杂函数的单调性、奇偶性问题转化为讨论比较简单的函数的有关问题. 教具准备
多媒体课件、投影仪、打印好的作业. 教学过程 一、复习旧知
复合函数y=f［g（x）］是由函数u=g（x）和y=f（u）构成的，函数u=g（x）的值域应是函数y=f（u）的定义域的子集.在复合函数y=f［g（x）］中，x是自变量，u是中间变量.当u=g（x）和y=f（u）在给定区间上增减性相同时，复合函数y=f［g（x）］是增函数；增
减性相反时，y=f［g（x）］是减函数.
二、创设情景，引入新课 师：我们已经比较熟练地掌握了指数函数的图象和性质，并运用这些知识解决了一些具
10x?1体的问题，我们知道指数函数y=a是非奇非偶函数，那么含有指数式的函数，如：y=x10?1x
有奇偶性吗？
这就是我们这一节课所要研究的内容. 三、讲解新课 （一）例题讲解
ax?1
【例1】 当a＞1时，判断函数y=x是奇函数.
a?1
师：你觉得应该如何去判断一个函数的奇偶性？ （生口答，师生共同归纳总结）
方法引导：判断一个函数奇偶性的一般方法和步骤是： （1）求出定义域，判断定义域是否关于原点对称.
（2）若定义域关于原点不对称，则该函数是非奇非偶函数.
（3）若所讨论的函数的定义域关于原点对称，进而讨论f（－x）和f（x）之间的关系. 若f（－x）=f（x），则函数f（x）是定义域上的偶函数；若f（－x）=－f（x），则函数f（x）是定义域上的奇函数；若f（－x）=f（x）且f（－x）=－f（x），则函数f（x）在定义域上既是奇函数又是偶函数.
师：请同学们根据以上方法和步骤，完成例题1.
（生完成引发的训练题，通过实物投影仪，交流各自的解答，并组织学生评析，师最后投影显示规范的解答过程，规范学生的解题）
证明：由ax－1≠0，得x≠0，
故函数定义域为{x|x≠0}，易判断其定义域关于原点对称.
a?x?1(a?x?1)ax1?ax
又f（－x）=?x=?x==－f（x）， xx
a?1(a?1)a1?a
∴f（－x）=－f（x）.
ax?1∴函数y=x是奇函数.
a?1合作探究：此题是函数奇偶性的证明，在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性质.请思考，证明f（－x）=－f（x）的目标指向能否更加简单？如改证f（－x）±f（x）=0或者程更加简洁?
f(?x)=±1，以上两种处理方式何时用何种形式能够使得解题过f(x)1x2?2x）的单调区间，并证明之. 2师：证明函数单调区间的方法是什么? （生口答，师生共同归纳总结）
【例2】 求函数y=（
方法引导：（1）在区间D上任取x1＜x2.（2）作差判断f（x1）与f（x2）的大小：化成因式的乘积，从x1＜x2出发去判断.（3）下结论：如果f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在区间D上是增函数；如果f（x1）＞f（x2），则函数f（x）在区间D上是减函数.
解：在R上任取x1、x2，且x1＜x2，
1x22?2x2()y21x12?x12?2x2?2x112则==（）=（）(x2?x1)(x2?x1?2).
12y122()x1?2x12∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.
当x1、x2∈（－∞，1］时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，即∴y2＞y1，函数在（－∞，1］上单调递增.
当x1、x2∈［1，+∞）时，x1+x2－2＞0，这时（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即
y2＞1. y1y2＜1. y1∴y2＜y1，函数在［1，+∞上单调递减.
综上，函数y在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减.
合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题.如下例.
【例3】 求函数y=3?x2?2x?3的单调区间和值域.
师：请同学们分析观察所给函数有什么特点？这些特点会给你解答该题提供哪些信息？ （生讨论交流，师捕捉学生交流具有价值的信息，及时归纳，得出如下结论）
结论：所给函数解析式右边是指数式，指数式的指数又是一个关于自变量x的二次三项式.
师：以上结论能否为你解决该问题提供一点思路呢？ （生交流，师总结）
由以上结论想到：若设u=－x2+2x+3，则y=3u，这样原来一个比较复杂的函数单调性的讨论问题就转化为两个基本初等函数的单调性的讨论问题.
（师生共同完成解答，师规范板书）
解：由题意可知，函数y=3?x2?2x?3的定义域为实数R.
设u=－x2+2x+3（x∈R）， 则f（u）=3u，
故原函数由u=－x2+2x+3与f（u）=3u复合而成. ∵f（u）=3u在R上是增函数，
而u=－x2+2x+3=－（x－1）2+4在x∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数.
∴y=f（x）在x∈（－∞，1］上是增函数，在［1，+∞）上是减函数. 又知u≤4，此时x=1，
∴当x=1时，ymax=f（1）=81，而3?x∴函数y=f（x）的值域为（0，81］.
2?2x?3＞0，
《指数函数及其性质》说课稿3(人教A版必修1)
