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2021届高考一轮复习之数学---平面解析几何专项测试
（8）圆锥曲线综合
1.椭圆
与双曲线
有相同的焦点，则
的值为( )
A.1
B.1或-2 C.1或
D.
2.已知抛物线
，圆
，过点F作直线
，自上而下顺次与上述两
曲线交于点
（如图所示），则
的值正确的是（ ）
A.等于1 B.最小值是1 C.等于4 D.最大值是4 3.过点
作圆
的切线，若两切点
恰好在双曲线
的两条渐近线上，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D. 4.已知抛物线焦点为，圆的圆心为，点在上，且，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
5.已知双曲线上存在两点关于倾斜角为135°的直线对称.若线段
的中点
在直线上，则直线
的方程为( )
A. B.
C.
D.
6.过曲线的左焦点作曲线的切线，设切点为M
延长交曲线于点N其中有一个共同的焦点，若则曲线
的离心率为( )
A． B． C． D．
7.已知抛物线
的焦点为，点是抛物线是上一点，
圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为.若，则( )
A.
B.1 C.2
D.3
8.已知
是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且
，则椭圆和
双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．
D．
9.已知抛物线
的焦点F与双曲线
的焦点重合，过点F
的直线与抛物线C交于点A，B，则
的最小值为（ ） A.
B.
C.7
D.10
10.设是双曲线上一点，分别是两圆：和
上的点，则的最大值为__________.
11.已知抛物线的焦点为F，准线为l，若l与双曲线的两条渐
近线分别交于点A和点B，且（O为原点），则双曲线的离心率为_________.
12.已知椭圆的右焦点F是抛物线的焦点，则过F作倾斜角 为
的直线分别交抛物线于（A在x轴上方）两点，则的值为__________.
13.已知椭圆和双曲线共焦点，且椭圆C的四个顶点到
双曲线E的一条渐近线的距离相等，则椭圆C的标准方程为________，直线与椭圆C交于两
点，若点
关于双曲线E的一条渐近线对称，则
_________.
14.已知椭圆
，过点
的两条不同的直线与椭圆
分别相交于
和
四点，其中
为椭圆
的右顶点．
（1）求以为直径的圆的方程； （2）设以
为直径的圆和以
为直径的圆相交于
两点，探究直线
是否经过定
点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.
15.已知双曲线，椭圆的短轴长等于双曲线虚半轴长的
倍，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数. 求椭圆的方程；
若直线
过双曲线右顶点与椭圆
交于
两点，
得最值时直线的方程.
为坐标原点，求使
取
答案以及解析
解析：设
1.答案：A
，则
两式相减可得
解析：∵椭圆与双曲线有相同的焦点， ，显然，故，即，设直线的方程
∴∴，双曲线和椭圆的焦点在
，
，
轴上，
，
，
为.又因为点在直线上，故，则，解得，故直线
的方程为
.
∵
，∴
，综上所述，答案选A.
2.答案：A
解析： ∵
，焦点
，准线
.
由定义得：，
又∵，∴
，
同理
，
时，代入抛物线方程，得：
∴
，则
.
综上所述，，故选A.
3.答案：D
解析：如图，由题意可得
.
，设直线
的斜率为
，
则
.点
在双曲线
的渐近线上，
.双曲线
的渐近线方程为.故选D.
4.答案：B
解析：因为
，所以
，解得
， 所以圆心
所以直线
的斜率
为选B.
5.答案：C
6.答案：A
解析：设双曲线的右焦点为
，则的坐标为． 因为曲线
与
有一个共同的焦点，所以曲线
的方程为
．
因为
，
所以
， 所以M为
的中点，
因为O为
的中点，
所以
为
的中位线， 所以
． 因为，所以．
又
，
，
所以．
设，则由抛物线的定义可得
，
所以．
过点
作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为，
在
中，由勾股定理得
，
即，
所以
，
整理得，解得．
7.答案：B
解析：画出图形如图所示.
点
在抛物线
上，得
，则
①.
由抛物线的性质可知
，
，
则
.
∵圆
被直线
截得的弦长为
，
∴
，
即
，化简得
②
由①②解得
.
∴
.故选B
8.答案：D
解析：不妨设椭圆方程为
，双曲线方程为
，
，
设点P在第一象限，所以
，
，所以
，
，
在
中用余弦定理得
，
所以
，所以
.由柯西不等式得
，
所以
，当
，
时取等号.
9.答案：B
解析：由题意得抛物线C的焦点为，则由
，解得
，所以
，
抛物线
，由题知，直线
的斜率不为零，所以设其方程为
，，联立得，所以.由抛物线的定义，得
，当且仅当
，即
或时取等号.
10.答案：9 解析：设两圆和
圆心分别为
，
则
正好为双曲线两焦点，
a，
即最大值为9，
11.答案：
解析：抛物线
的准线l的方程为
，
双曲线的渐近线方程为
，
则有
，
∴
， ∴
. 12.答案：3
解析：由椭圆
得右焦点
，
，
，∴抛物线方程为
.
设
，直线
方程为
由
得
，
在x轴上方，
.
.
13.答案：
；
解析：由椭圆C与双曲线E共焦点，得
.双曲线E的渐近线方程为
，
由椭圆C的四个顶点到双曲线E的一条渐近线的距离相等，得
，所以
，故
，所以
，故椭圆C的方程为
.由椭圆的对称性，不妨设
两点
关于直线
对称，则由椭圆的对称性可得直线的方程为
.设，
由
，得
，故
，所以
，故
.
14.答案：（1）由已知
，则
，故
方程：
，
联立直线与椭圆方程，消去y可得：，得，即，
从而以为直径的圆方程为：
， 即.
（2）①当
斜率存在时，并设
方程：
，设
由
，消去
得：
，
故
，从而
，
， 而以为直径的圆方程为：
，
即，①
且以
为直径的圆方程为
，②
将两式相减得直线，
即，
可得：，两条直线互异，则
，
即
，
令，解得，即直线过定点； ②当斜率不存在时，方程：
，知
，
则以为直径的圆为，
而以
为直径的圆方程
，
两式相减得
方程：
，过点
；
综上所述，直线过定点
15.答案：（1） 双曲线的虚半轴长为，
椭圆的短轴长为，
，解得
. 双曲线的离心率为
，
椭圆的离心率为，
.
又，
，
联立
解得，
椭圆
的方程为.
（2）当直线
的方程为时，，
.
当直线不与轴平行时，设其方程为，
联立
得
，
恒成立，
，
.
又，，
的最大值为0，此时，直线的方程为，
的最小值为
，此时直线的方程为.
2021届高考一轮复习之数学---平面解析几何专项测试 (8)圆锥曲线综合 (含解析)
