2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题:1～8小题，每小题
4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数f(x)在（-拐点个数为（）
连续，其2阶导函数f(x)的图形如下图所示，则曲线,+）
yf(x)的
（A）0 （C）2 【答案】(C)
（B）1 （D）3
【考点】拐点的定义【难易度】★★
【详解】拐点出现在二阶导数等于数异号，因此，由
0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导
f(x)的图形可知，曲线
13
x
yf(x)存在两个拐点，故选
(C).
2、设y则（）（A）a（C）a
12
e
2x
xe是二阶常系数非齐次线性微分方程yaybyce的一个特解，
x
3,b3,b
1,c2,c
1.
1.（B）a（D）a
3,b3,b
2,c2,c
1.1.
【答案】(A)
【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】★★【详解】
12
e,
2x
13
e为齐次方程的解，所以
x
2、1为特征方程
2
+ab
x
0的根，从而
a123,b122,再将特解yxe代入方程y
1
x
3y2y
ce得：c1.
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
3、若级数
n1
an条件收敛，则x
3与x
3依次为幂级数
n1
nanx1
n
的：
（A）收敛点，收敛点（C）发散点，收敛点【答案】(B) 【考点】级数的敛散性【难易度】★★★【详解】因为
n1
（B）收敛点，发散点（D）发散点，发散点
an条件收敛，故x
2为幂级数
n1
anx1
n
的条件收敛点，进而得
anx1
n1
n
的收敛半径为1，收敛区间为
0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故
nanx1
n1
n
的收敛区间仍为
因而x0,2，3与x3依次为幂级数
n1
nanx1
n
的收敛
点、发散点.
4、设D是第一象限中曲线在D上连续，则
D1
1
2xy1,4xy
1与直线y
x,y
3x围成的平面区域，函数f(x,y)
f(x,y)dxdy
（A）
24
d
sin2
12sin21
f(rcos,rsin)rdr
（B）
24
d
sin212sin21
f(rcos,rsin)rdr
（C）
34
d
sin212sin2
f(rcos,rsin)dr
（D）
34
d
sin2
12sin2
f(rcos,rsin)dr
【答案】(D)
【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】★★★【详解】由
yx得，
2
4
；由y3x得，1sin212sin2
2
3
由2xy1得，2rcossin
1,r
由4xy1得，4rcossin
2
1,r
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1
所以
D
f(x,y)dxdy
11
34
d
sin212sin2
f(rcos,rsin)rdr
1
1a5、设矩阵A
12，b
d，若集合
{1,2}，则线性方程组Axb有无穷多个
14
a
2
d
2
解的充分必要条件为（A）a,d（B）a,d（C）
a
,d
（D）
a
,d
【答案】(D)
【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】★★
11
111111【详解】
A,b12ad01a1d
114
a
2
d
2
00
a1a
2
d
1d
2
Axb有无穷多解
R(A)R(A,b)
3
a1或a
2且d1或d2
6、设二次型
f(x1,x2,x3)在正交变换x
Py下的标准形为2y
2
1
y
222
y3
，其中P
(e1,e2,e3)，若Q(e1,e3,e2)，则f(x1,x2,x3)在正交变换x
Qy下的标准形为
（A）2y222221
y2
y3
（B）2y2
1
y2
y3
（C）
2y
2y
2y
2（D）2y
2221231y
2y
3
【答案】(A) 【考点】二次型【难易度】★★
2
0【详解】由
xPy，故f
xT
Ax
yT(PT
AP)y
2y
22
1
y
22
y
3且：
PT
AP
010
0
3
001
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1
Q
P00
所以f7、若（A）
T
00
01
PC,QAQ
T
2
C(PAP)C
T
T
00
01
00
10
10xAx
y(QAA)y
T
T
2y
21
y
22
y
2
3，故选
(A)
A,B为任意两个随机事件，则P(AB)P(AB)
P(A)P(B)P(A)
2P(B)
（B）
P(AB)P(AB)
P(A)P(B)P(A)
2P(B)
（C）
（D）
【答案】(C) 【考点】【难易度】★★【详解】
P(A)P(A)P(AB)
P(AB),P(B)P(B)P(A)
22P(AB)P(B)
P(AB)
（C）故选
2,EY
1,DX
3,则EXX
8、设随机变量（A）-3 【答案】(D) 【考点】
X,Y不相关，且EX
（B）3
（C）-5
Y2
（D）5
【难易度】★★★【详解】
2
2
EXXY2EXDX
XYE
2
2XEXEXY2EX
2EX5
XEXEY
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、lim
x
lncosxx
2
0
【答案】
1
2
4
【考点】极限的计算
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一
【难易度】★★
【详解】
lncosxlim2x0
x
(sinx1cosx
2
ln(1cosx1)lim2x0
xcosx1limlim2x0x0
x
12x22x
12
2
10、
-
x)dx
2
【答案】
4
【考点】积分的计算【难易度】★★【详解】
2-2
(
sinx1cosx
2
x)dx
z
2
20
xdx
4
cosx
2确定，则dz
(0,1)
11、若函数z【答案】
z(x,y)由方程exyz+x
.
【考点】隐函数求导【难易度】★★【详解】令
F(x,y,z)1时，z
e
z
xyz
xcosx2，则Fx
yz1sinx，Fyxz，Fzxy，
又当x0,y
0，所以y
zx(0,1)
FxFz
1，
zy
(0,1)
FyFz
0，因而dz
(0,1)
dx
12、设是由平面
x
z1与三个坐标平面所围成的空间区域，则
(x2y
14
3z)dxdydz
【答案】
【考点】三重积分的计算【难易度】★★★
【详解】由轮换对称性，得
dxdyzdxdydz=6òzdzòò(x+2y+3z)dxdydz=6òòòòòò
0
W
W
Dz
1
5
2015年全国考研数学真题答案(数一).doc
