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数字信号处理第三版高西全丁玉美课后答案

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这说明X(e)是纯虚数,且是w的奇函数。

jwjw10. 若序列h(n)是实因果序列,其傅里叶变换的实部如下式: HR(e)?1?cosw

求序列h(n)及其傅里叶变换H(e)。

jw解:

?1jw1?jwHR(e)?1?cosw?1?e?e?FT[he(n)]??he(n)e?jwn22n???jw?1?2,n??1?he(n)??1,n?0?1?,n?1?2?0,n?0??1,n?0???h(n)??he(n),n?0???1,n?1?2h(n),n?0??0,其它n?e??H(e)?jwn???

?h(n)e??jwn?1?en?jw?2e?jw/2cosw212. 设系统的单位取样响应h(n)?au(n),0?a?1,输入序列为x(n)??(n)?2?(n?2),完成下面各题:

(1)求出系统输出序列y(n);

(2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。 解: (1)

y(n)?h(n)*x(n)?anu(n)*[?(n)?2?(n?2)] ?au(n)?2a(2)

?nn?2u(n?2)

X(e)?H(e)?jwjwjwn????[?(n)?2?(n?2)]e???jwn?1?2e?j2w1 ?jw1?aeau(n)ejwn?jwnn???jw??ane?jwn?n?0?1?2e?j2wY(e)?H(e)gX(e)?1?ae?jw13. 已知xa(t)?2cos(2?f0t),式中f0?100Hz,以采样频率fs?400Hz对xa(t)进行采

%样,得到采样信号xa(t)和时域离散信号x(n),试完成下面各题:

(1)写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j?);

%(2)写出xa(t)和x(n)的表达式;

%(3)分别求出xa(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。

解:

(1)

Xa(j?)??xa(t)e???????j?tdt??2cos(?0t)e?j?tdt???

??(ej?0t?e?j?0t)e?j?tdt上式中指数函数的傅里叶变换不存在,引入奇异函数?函数,它的傅里叶变换可以 表示成:

Xa(j?)?2?[?(???0)??(???0)])

?a(t)?(2) xn????x(t)?(t?nT)??2cos(?nT)?(t?nT)

a0n?????x(n)?2cos(?0nT), ???n??

?0?2?f0?200?rad,T?(3)

?1?(j?)??X(j??jk?)XaasTk???1?2.5ms fs2? ?Tk????[?(????

0?k?s)??(???0?k?s)]式中?s?2?fs?800?rad/s

X(e)? ?jwn?????x(n)e?[ejw0n??jwn?n????2cos(?nT)e0?k?????jwn?n????2cos(wn)e00??jwn

?e?jw0n]e?jwn?2?n????[?(w?w?2k?)??(w?w0?2k?)]式中w0??0T?0.5?rad

上式推导过程中,指数序列的傅里叶变换仍然不存在,只有引入奇异函数函数,才能写出它的傅里叶变换表达式。

14. 求以下序列的Z变换及收敛域: (2)?2u(?n?1);

?n(3)2u(?n);

?n(6)2[u(n)?u(n?10)]

?n 解:

(2) ZT[2u(n)]?(3)

?nn?????2u(n)z?n?n??2?nz?n?n?0?11,z?

1?2?1z?12ZT[?2u(?n?1)]? ?(6)

?nn?????2??nu(?n?1)z?n?n??1??2??nz?n???2nznn?1??2z11?,z?1?2z1?2?1z?129

ZT[2u(n)?u(n?10)]??2?nz?n?nn?0 ?16. 已知:

1?2z,0?z???1?11?2z?10?10

X(z)?32 ?1?11?2z?11?z2求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式。

解:

有两个极点,因为收敛域总是以极点为界,因此收敛域有以下三种情况: 三种收敛域对应三种不同的原序列。 (1)当收敛域z?0.5时,

x(n)??X(Z)z2?j?c1n?1dz

令F(z)?X(z)zn?15?7z?15z?7n?1n?z?z (1?0.5z?1)(1?2z?1)(z?0.5)(z?2)n?0,因为c内无极点,x(n)=0;

n??1,C内有极点0,但z=0是一个n阶极点,改为求圆外极点留数,圆外极点有

z1?0.5,z2?2,那么

x(n)??Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2](5z?7)zn(5z?7)zn ?(z?0.5)z?0.5?(z?2)(z?0.5)(z?2)(z?0.5)(z?2)1 ??[3g()n?2g2n]u(?n?1)2(2)当收敛域0.5?z?2时,

z?2

(5z?7)zn F(z)?(z?0.5)(z?2)n?0,C内有极点0.5;

1x(n)?Res[F(z),0.5]?3g()n

2n?0,C内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,c外极点只有一个,

即2,

x(n)??Res[F(z),2]??2g2nu(?n?1)

最后得到x(n)?3g()u(n)?2g2u(?n?1) (3)当收敛域2?z时,

12nn(5z?7)zn F(z)?(z?0.5)(z?2)n?0,C内有极点0.5,2;

1x(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]?3g()n?2g2n

2n<0,由收敛域判断,这是一个因果序列,因此x(n)=0。

或者这样分析,C内有极点0.5,2,0,但0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,c外无极点,所以x(n)=0。 最后得到

1x(n)?[3g()n?2g2n]u(n)

217. 已知x(n)?au(n),0?a?1,分别求:

n(1)x(n)的Z变换; (2)nx(n)的Z变换; (3)au(?n)的z变换。

?n解:

(1)X(z)?ZT[au(n)]?nn????au(n)zn??n?1,z?a ?11?azdaz?1X(z)?,z?a (2)ZT[nx(n)]??z?12dz(1?az)(3)ZT[au(?n)]??n?an?0???n?nz??anzn?n?0?1,z?a?1 1?az?3z?118. 已知X(z)?,分别求:

2?5z?1?2z?2(1)收敛域0.5?z?2对应的原序列x(n); (2)收敛域z?2对应的原序列x(n)。 解:

x(n)??X(z)z2?j?c1n?1dz

F(z)?X(z)zn?1?3z?1?3?znn?1?z? 2?5z?1?2z?22(z?0.5)(z?2)(1)当收敛域0.5?z?2时,n?0,c内有极点0.5,

x(n)?Res[F(z),0.5]?0.5n?2?n,n?0,

c内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点,改求c外极点留数,c外极点只有2,

x(n)??Res[F(z),2]?2n,

最后得到

x(n)?2?nu(n)?2nu(?n?1)?2(2(当收敛域z?2时,

?n

n?0,c内有极点0.5,2,

x(n)?Res[F(z),0.5]?Res[F(z),2]

?3?zn?0.5?(z?2)z?22(z?0.5)(z?2)n ?0.5?2nn

n?0,c内有极点0.5,2,0,但极点0是一个n阶极点,改成求c外极点留数,可是c外没有极点,

数字信号处理第三版高西全丁玉美课后答案

这说明X(e)是纯虚数,且是w的奇函数。jwjw10.若序列h(n)是实因果序列,其傅里叶变换的实部如下式:HR(e)?1?cosw求序列h(n)及其傅里叶变换H(e)。jw解:?1jw1?jwHR(e)?1?cosw?1?e?e?FT[he(n)]??he(n)e?jwn22n???jw?1?2,n??1?he(n)??1
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