南平市2024—2024学年高中毕业班第三次综合质量检测
理科数学试题答案及评分参考
说明：
1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分． （1）B （2）A （3）C （4）D （5） C （6）A （7）A （8）B （9）C （10）A （11）D （12）B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分． （13）?494 （14） （15）2 （16）123?46 52e+1三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分） （1）解：因为a2?a4?a6?L?a2n?所以a2?a4?a6?L?a2n?2n(n?1)， 2(n?1)(n?2)， ………………2分 ?2两式相减得 a2n?2?n?1 ………………4分 又把n?1代入已知得a2?1，从而a2n?n ………………5分
（2）
232n?12nS2n?2a1?（2）a2?（2）a3?L（2）a2n?1?（2）a2n?[2a1?(2)3a3?L(2)2n?1a2n?1)?[(2)2a2?(2)4a4?L?(2)2na2n]
……………6分
?[2?1?(2)3?2?(2)5?22?L?(2)2n?1?2n?1]?[(2)2?1?(2)4?2?L?(2)2n?n]?(2?40?2?4?L?2?4n?1)?(2?1?22?2?L?2n?n) …………7分
2(1?4n)??(2?1?22?2?L?2n?n)1?4理科数学参考答案 第1页（共9页）
?2n(4?1)?(2?1?22?2?L?2n?n) ……………8分 32n设Tn?2?1?2?2?L2?n
23n?1则2Tn?2?1?2?2?L2?n， …………………9分
相减得，?Tn?2?(2?2?L2)?223nn?12(1?2n)n?1?n??2?n?(1?n)2n?1?2
1?2Tn?(n?1)2n?1?2， …………………11分
所以S2n?2n(4?1)?(n?1)2n?1?2 …………………12分 3 (18) （本小题满分12分）
（1）证明：取BC的中点为N，在△ABC中，AB?AC，所以AN?BC……1分
又BB1?BC，所以AA1?BC ………………2分
AA1,AN?平面AA1N，AA1IAN?A，所以BC?平面AA1N ………………3分
从而BC?A1N，………………4分，
所以在△A1BC中，由BC?A1N及BC的中点为N，得A1B?A1C………………5分 （2）由四边形BCC1B1为正方形，得BB1?BC,
由△A1AB为正三角形，得A1A?AB?A1B，所以A1A?AB?A1B?BC?AC 又由（1）知A1B?A1C，所以A1?ABC为正三棱锥
过点A1作A1O?平面ABC，则O为正△ABC的中心，取BC上靠近点C的三等分点为E，则OA1,OB,OE两两垂直，分别以射线OA1,OB,OE为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，
?(23)2?22?22，B(2,0,0)，A(?1,?3,0)，设OB?2，则AC?23，AO1理科数学参考答案 第2页（共9页）
C(?1,3,0)，
uuuruuurA1(0,0,22)，AC?(0,23,0)，AB?(3,3,0)………………………6分
uuuuruuuruuuuruuur1uuur13153AM?AC?CM?AC?AA1?(0,23,0)?(,,2)?(,,2),
22222?153rx?y?2z?0?设平面BAM的法向量n?(x,y,z)，则?2，取x?1，得2?3x?3y?0?r72n?(1,?3,)………………8分
2?1/53/ury?2z/?0?x?///设平面CAM的法向量m?(x,y,z)，则?2， 2?23y/?0?ur2) ………………………10分 所以y?0，取x?2，得m?(2,0,?2//7urr572cos?m,n????，………………………11分
574911?3??4?222?设二面角B?AM?C为?，因为?为钝角，所以cos???57， 57即所求的二面角的余弦值为?57 ………………………12分57理科数学参考答案 第3页（共9页）
(19) （本小题满分12分）
（1）因为?(xi?x)(yi?y)?350，?(xi?x)?17.5，?(yi?y)?7600
22i?1i?1i?1666所以r??(x?x)(y?y)iii?16?(x?x)?(y?y)2iii?1i?166?2350350350???0.96
17.5?7600133000365因为r?0.75，所以y与x具有很强的线性相关关系……………………… 2分 由题意知，x?1?(1?2?3?4?5?6)?3.5，61960y??(110?130?160?150?200?210)??160，………4分
66??b?(x?x)(yii?16ii?16i?y)?2?(x?x)350?x?160?20?3.5?90 ?20，a??y?b17.5??20x?90 ………6分 y关于x的线性回归方程为y??20?7?90?230 2024年1月对应的是x?7，则y即预测公司2024年1月（即x?7时）的利润为230万元；………7分
2个月，3个月、4个月的概率分别为0.15，（2）由频率估计概率，A型材料可使用1个月，0.4，0.35，0.1.
理科数学参考答案 第4页（共9页）
所以A型材料利润的数学期望为
(5?10)?0.15?(10?10)?0.4?(15?10)?0.35?(20?10)?0.1?2(万元)；……9分
B型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2 B型材料利润的数学期望为
(5?12)?0.1?(10?12)?0.3?(15?12)?0.4?(20?12)?0.2?1.5(万元)；……11分
?2?1.5，故应该采购A型材料．…………………………………12分
（20）（本小题满分12分） 解: 解析：（1）椭圆C的离心率为612，). ，且过点(222?c2??2?a1?6222?1a?2,b?1,c?1………………3分 所以?2?，解得24b?4a?a2?b2?c2??x2?y2?1.………………4分 所以椭圆的标准方程为2（2）由（1）知以F1F2为直径的圆的方程为x?y?1,
22又直线l与该圆相切，所以|m|k2?1?1，即m2?k2?1.
?x22??y?1222由?2得(2k?1)x?4kmx?2m?2?0………………6分 ??y?kx?m因为直线l与椭圆C交于不同的两点，所以??8k?0,
2设A(x1,y1),B(x2,y2)
理科数学参考答案 第5页（共9页）
2024届福建省南平市高三毕业班第三次综合质量检测数学(理)试题参考答案
