华杯赛计数专题： 加法原理、乘法原理
基础知识：
1.加法原理：如果完成一件事情可以分成几类方法，每一类又包含若干种不同方法，那么将所有类中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数.加法原理的关键在于分类，类与类之间用加法.
2.乘法原理：如果完成一件事情可以分成几个步骤，每一步又包含若干种不同方法，那么将所有步骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数.乘法原理的关键在于分步，步与步之间用乘法.
3.分类原则：分类要做到“不重不漏”.任意两类之间不可以重复，这叫做不重；把所有的类别累加在一起就得到整体，这叫做不漏.
4.分步原则：分步要做到“前不影响后”.无论前面步骤采取哪种方法，后面一个步骤都应该有相同多的方法数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关.
例题：
例1.从1开始依次写下去一直到999，得到一个多位数1234567891011121314…997998999，请问：（1） 这个多位数一共有多少位？ （2） 第999位数字是多少？
（3） 在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？ （4） 数字0一共出现了多少次？
问题（1） 这个多位数一共有多少位？
【答案】（1）2889；（2）9；（3）300；（4）189
【解答】分析1：999个自然数构成一个多位数，可以利用加法原理分类的思想求这个多位数的位数.将这999个自然数分成3类：第1类是1位数；第2类是2位数；第3类是3位数.分别计算每一类自然数占了多少位，再求和就可以得出多位数的位数了. 详解1：按照自然数的位数去分类.
90=180 构成这个多位数的自然数中1位数有9个，占了9位；2位数有90个，占了2×
900＝2700位；所以这个多位数总共有9+180+2700=2889位. 位；3位数有900个，占了3×
问题（2） 第999位数字是多少？
1位数和2位数一共占了189位，999位数数字还需要3位数占据999－189=810 详解2：
位.由810÷3=270…0可知第999位数字是第270个3位数的最后1位.第270个3位数是369，所以第999位数字是9.
问题（3） 在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？
分析3：前面2问分类的方法是按照自然数的位数去分类，1位数，2位数，3位数各自分为一类.但按照这种分类的思路来解第3问就不是很方便了：1位数含有1个9，2位数含有19个9，但是考虑3位数含有多少个9还是比较复杂.通过这种分类的思路去分析问题并没有使问题变得简单.
……； 可以考虑按照分段的方法去分类，第1类1—99；第2类100—199；第3类200—299；
第10类900—999.分别计算每一类中包含了多少个9，然后再加和就可以了.注意利用每一类的相似性，比如第1类到第9类每一类所包含9的个数应该一样多，当然第10类900—999中9的个数比前9类要多100个.
再考虑一种分类的方法，按照9出现的位置去分类.首先考虑9在百位出现了多少次；
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再考虑9在十位出现了多少次；最后考虑9在个位出现了多少次. 详解3：按照分段的方法去分类.
实际这种分类方法也是按照百位数的不同去分类，在每一类中百位数是相同的（1—99可以看成百位数为0）.
考虑第1类1—99中包含了多少个9，个位包含9的有：9，19，29，39，49，59，69，79，89，99一共10个；十位包含9的有：90，91，92，93，94，95，96，97，98，99也是10个.这样在1—99中9在个位和十位各出现了10次，一共是20次.
同理，第2类100—199；第3类200—299；……；第9类800—899；每一类中也都包含20个9.第10类900—999中9的个数比前9类要多100个，应该是120个.所以原来的多
9＋120=300个9. 位数中总共有20×
其实更快的方法是按9出现的位置去数，应用乘法原理. 问题（4） 数字0一共出现了多少次？ 详解4：按照0出现在个位、十位去分类
10=90 当0出现在十位时，百位可以为1~9，个位可以为0~9，根据乘法原理，共有9×
10+9=99次，次；同理，当0出现在个位时，共有9×所以原来的多位数中0出现了99＋90=189
次.
例2.允许数字重复，那么用数字0、1、3、5、7、9最多可以组成多少个不同的三位数？
【答案】180
【解答】百位有5种选择，十位和个位都有6种选择.根据乘法原理，一共可以组成5×6×6=180个三位数.
变化：如果不允许数字重复呢？
其中被5整除的无重复数字的三位数又有多少个呢？
例3.在所有的三位数中，至少出现一个2的偶数有________个.
【答案】162
10=90个；4＝36个； 【解答】①个位是2的有9×②十位是2但个位不是2的偶数有9×
4=36个，所以一共有90＋36＋36＝162个符③百位是2但十位和个位都不是2的偶数有9×
合条件的三位数.
例4.用1、2、3、4、5这5个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次.例如1234、1233和2454是满足条件的，而1212、3335和4444就是不满足条件的.那么，所有这样的四位数共有________个.
【答案】480个
4×3×2=120个； 【解答】方法1：分类讨论.如果包含4个互不相同的数字，一共有5×
如果包含3个互不相同的数字，我们可以先从5个数字中选出3个数字，然后再从挑出的3个数字中选1个可以重复，最后把这3个数字带上1个重复的数字共4个数字排成1行.根据乘法原理，就有个，所以一共有120＋360＝480个四位数.
5×5×5＝625个；只包含1个数字的有5个，包 方法2：排除法.所有可能的四位数有5×
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4×2×2－1）＝140个.那么包含3个或4个不同数字的四位数有625含2个数字的有5×（2×
－5－140=480个.
例5.书架上有1本英语书，9本不同的语文书，9本不同的数学书和7本不同的历史书.现在要从中取出3本书，而且不能有两本是同一科的.那一共有多少种取法？
【答案】774
【解答】因为一共要4种书中选3种，所以要分4种情况讨论：如果拿的是英语、语文
9×9种方法；如果拿的是英语、语文和历史书，一共有和数学书，根据乘法原理一共有1×
1×9×7种拿法，9×7种和9×9×7种拿法.最后我们根据加法原理，同理另外两种情况分别有1×
9×9＋1×9×7＋1×9×7＋9×9×7＝1×9×16＋10×9×7＝144＋630＝774种拿法. 一共有1×
例6.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的： （1）银行存折的四位密码； （2）四位数；
（3）四位奇数.
【答案】（1）120（个）；（2）96（个）；（3）36（个）.
【解答】（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤： 第一步：选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法； 第二步：选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法； 第三步：选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法； 第四步：选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法；
4×3×2=120（个）. 由乘法原理，可组成不同的四位密码共有N=5×
（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤：
第一步：从1，2，3，4中选取一个数字作千位数字，有4种选取方法；
第二步：从1，2，3，4中余下的三个数字和0中选取一个数字作百位数字，有4种选取方法；
第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种选取方法； 第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种选取方法；
4×3×2=96（个）. 由乘法原理，可组成不同的四位数共有N=4×
（3）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四个步骤： 第一步：从1，3中选取一个数字作个位数字，有2种选取方法；
第二步：从1，3中余下的一个数字和2，4中选取一个数字作千位数字，有3种选取方法；
第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作百位数字，有3种选取方法； 第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作十位数字，有2种选取方法；
3×3×2=36（个）. 由乘法原理，可组成不同的四位奇数共有N=2×
例7.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?
【答案】90（种）
【解答】取a+b与取b+a是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,
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初中数学竞赛—奥数讲义计数专题：加法原理、乘法原理及答案
