[A 基础达标]
1．设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则 ①(a·b)c－(c·a)b＝0； ②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2中，是真命题的有( ) A．①② C．③④
B．②③ D．②④
解析：选D.因为(a·b)c是与c共线的向量，(c·a)b是与b共线的向量，所以(a·b)c与(c·a)b不一定相等，排除①.因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，所以(b·c)a－(c·a)b与c垂直，所以排除③，故选D.
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( ) πA. 6πC. 3
解析：选C.因为a·b＝|a||b|cos θ， 1所以1×4cos θ＝2，即cos θ＝.
2又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π. 3
πB. 4πD. 2
3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为( ) 3A．－
23C．±
2
3B. 2
D．1
解析：选B.因为3a＋2b与λa－b垂直， 所以(3a＋2b)·(λa－b)＝0， 即3λ|a|2＋(2λ－3)a·b－2|b|2＝0. 因为a⊥b， |a|＝2，|b|＝3， 所以a·b＝0，|a|2＝4，|b|2＝9， 3所以12λ－18＝0，即λ＝.
2
→→→→→
4．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3BD，|AD|＝1，则AC·AD＝( )
A．23 C.3 3
B.3 2
D.3
→→
解析：选D.设|BD|＝x，则|BC|＝3x， →→→→→→→AC·AD＝(AB＋BC)·AD＝BC·AD 1→→
＝|BC|·|AD|cos∠ADB＝3x·1·＝3.
x
5．若向量a，b，c均为单位向量，且a⊥b，则|a－b－c|的最小值为( ) A.2－1 C.2＋1
B．1
D.2
解析：选A.因为a，b，c均为单位向量，且a⊥b， 所以a·b＝0，
所以|a－b|＝（a－b）2 ＝a2＋b2－2a·b＝2， 所以|a－b－c|≥|a－b|－|c| ＝2－1.
6．已知单位向量e1，e2的夹角为120°，则|2e1－e2|＝________．
2解析：|2e1－e2|＝（2e1－e2）2＝4e21－4e1·e2＋e2＝5－4×1×1×cos 120°＝7.
答案：7
→→7．在等腰△ABC中，AB＝AC＝1，B＝30°，则向量AB在向量AC上的投影等于________． →解析：因为等腰△ABC中，AB＝AC＝1，B＝30°，所以∠BAC＝120°，因此向量AB在1→→
向量AC上的投影为|AB|cos 120°＝－.
2
1
答案：－
2
π
8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝
3________．
解析：由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos 或λ＝5.
π
，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－83
答案：－8或5
9．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2， 求(1)|a＋b|；(2)|3a－4b|.
解：由已知得a·b＝4×2×cos 120°＝－4， a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.
(1)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12， 所以|a＋b|＝23.
(2)因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2 ＝9a2－24a·b＋16b2
＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， 所以|3a－4b|＝419.
10．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝5. (1)求|a＋3b|的值；
(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值． 解：(1)由|3a－b|＝5得(3a－b)2＝5， 所以9a2－6a·b＋b2＝5. 因为a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1， 所以9－6a·b＋1＝5， 5所以a·b＝.
6
5
所以(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×＋9×1＝15.
6所以|a＋3b|＝15.
(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ.
520
因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝3×1＋8×－3×1＝.
6320
3（3a－b）·（a＋3b）43
所以cos θ＝＝＝.
9|3a－b||a＋3b|5×15因为0°≤θ≤180°，所以sin θ＝所以3a－b与a＋3b夹角的正弦值为
1－cos2θ＝33. 9
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[B 能力提升] 1.
优化课堂秋数学北师大必修练习： 从力做的功到向量的数量积 含解析
