专题03 函数的零点问题
函数的零点是江苏高考中的热门考点，在填空题和大题中都有涉及，在填空题中考察学生主要以函数的性质、函数与方程的思想有关，难度不大，而在大题中经常要结合导数、不等式、零点定理来判断零点个数或者由零点个数求取值或取值范围等。本专题的侧重点放在后者。江苏近七年的高考中有四年都考到了函数零点的大题，分别是2020年、2020年、2020年、2020年，2020年从题目上看不是零点，但本质最后就是寻找零点的问题。由此可见其重要性。而在函数零点的解题过程中用的最多的就是利用函数与方程的思想将其看成是两个函数图像的交点的横坐标，运用数形结合画图去判断零点。这样的解题方法在填空题中也许还说的过去，但是在大题中解题过程值得商榷，导数判断函数的单调性只能得到函数图像的走势，并不能准确的画出函数图像，再结合一些函数的渐近线更加无法说明，要解决这类试题需要借助零点定理；即在区间上是连续不间断的，且，则在上存在零点，如果再确定具体是几个，还要结合单调性。 例1、（2020江苏省高考20）设函数，，其中为实数. (1) 若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的范围； (2) 若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.
（2）在上是单调增函数，在上恒成立，则，即 ①当时，由以及，得存在唯一的零点；
②当时，由于，，且函数在上的图象连续不间断，所以在上存在零点．当时，，故在上是单调增函数，所以只有一个零点；
③当时，令，解得．当时，，当时，，所以，是的最大值点，且最大值为． 当，即时，有一个零点； 当，即时，最多有两个零点；
，，且函数在上的图象不间断，在上存在零点．当时，，故在上是单调增函数，所以在上只有一个零点． （先证明在是成立的，这里留给同学们自己证明）
，又，且函数在上的图象连续不间断，所以在上存在零点．又在上是单调减函数，所以在上有且只有一个零点．
综上所述：当或时，的零点个数为，当时，的零点个数为．
注：零点问题可以用转化的思想转化成两个图形的交点问题，此题第二问可以利用参变分离转化成，则有的零点个数即为与图像交点的个数 令，运用导数求单调性画出图形，利用数形结合得到答案。虽然的图像平时都会涉及，但渐近线的问题不用极限是说不清楚的，我们学过的基本初等函数中的对数和指数函
数都有渐近线，因为与其相关的函数也会有渐近线，但渐近线是什么高中并没有相关知识点去具体阐述，在大题的解题过程中缺乏说理性，可能会引起失分，而我们高一在函数与方程中学的零点定理就可以说明为什么有零点，因为零点问题的讨论需要用零点定理说明才够准确。 例2、（2020无锡高三期末20）设函数在点处的切线方程为. （1）求实数及的值；
（2）求证：对任意实数，函数有且仅有两个零点. 分析：(1) 由导数几何意义得： ，
又，，解得
（2）先根据导数确定函数单调性：在上单调减，在上单调递增，有最小值，因为，所以在上一定有一解，在上有且仅有一解；难点在证明存在使，这时需构造一个函数易得，从而，取，从而得证.
下面证明存在使（其实就是证明）
令，，
所以当时，，在上单调递减 当时，，在上单调递增 所以，即 当时， 取
又在上连续不间断 ，
所以在上有且只有一解
综上所述，函数在上有且仅有两个零点. 例3、（2020江苏省高考19）已知函数。 （1）试讨论的单调性；
（2）若（实数c是a与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值。 分析：（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出的单调性；
（2）由（1）知，函数的两个极值为，则函数有三个不同的零点等价于，进一步转化为时，或时，．利用条件即可求c的值． 解：（1） 令，可得或． 时，，在上单调递增；
时，时，，时，，
函数在，上单调递增，在上单调递减； 时，时，，时，，
函数在，上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）知，函数的两个极值为，则函数有三个不同的零点等价于 ，时，或时，． 令
有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是 在上，且在上均恒成立， ，且， 此时，
函数有三个零点， 有两个异于的不等实根， 且 解得 综上所述：
例4、（2020江苏省高考19）已知函数． （2）若，函数有且只有个零点，求的值．
分析：对求导令解得，判断单调性在上单调递减，在上单调递增，因此最小值为，讨论与的大小。 解：，，由，可得， 令，则单调递增，的解
当时，，，则； 当时，，，则
在上单调递减，在上单调递增，因此最小值为
例5、（2020南通高三一模19）10已知函数 （1）求的单调区间；
（2）试求函数的零点个数，并证明你的结论。 解：（1）的定义域
江苏省2020高考数学一轮复习 突破140必备 专题03 函数的零点问题学案
