4.1 任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数
核心考点·精准研析
考点一 象限角与终边相同的角
1.若角α是第二象限角,则是 ( ) A.第一象限角
B.第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角
2.(2019·长春模拟)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-α的取值集合是 ( )
x上,则角
A. B.
C. D.( )
3.下列各角中,与角330°的终边相同的是
A.150° B.-390° C.510° D.-150° 4.与-2 010°终边相同的最小正角是________.
【解析】1.选C.因为α是第二象限角,所以+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z,所以+kπ<<+kπ,k∈Z.当k为
偶数时,是第一象限角;当k为奇数时,是第三象限角.综上,是第一或第三象限角.
2.选D.因为直线y=-x的倾斜角是,所以终边落在直线y=-x上的角的取值集合为
.
3.选B.与角330°的终边相同的角为α=k·360°+330°(k∈Z),令k=-2, 可得α=-390°.
4.因为-2 010°=(-6)×360°+150°,
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所以150°与-2 010°终边相同,又终边相同的两个角相差360°的整数倍,所以在0°～360°中只有150°与-2 010°终边相同,故与-2 010°终边相同的最小正角是150°. 答案:150°
1.表示区间角的三个步骤
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°～360°范围内的角α和β,写出最简区间. (3)起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合. 2.象限角的两种判断方法
(1)图像法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角. (2)转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
*
3.求或nθ(n∈N)所在象限的方法 (1)将θ的范围用不等式(含有k)表示. (2)两边同除以n或乘以n.
*
(3)对k进行讨论,得到或nθ(n∈N)所在的象限.
提醒:注意“顺转减,逆转加”的应用,如角α的终边逆时针旋转180°可得角α+180°的终边,类推可知α+k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角. 【秒杀绝招】
结论法解T1,若角α是第一(或二)象限角,则是第一或第三象限角;若角α是第三(或四)象限角,则是第二或第四象限角.
排除法解T2,终边在直线上,是kπ,终边在射线上是2kπ,排除A,B;直线y=-或减锐角,排除C,所以选D.
考点二 弧度制、扇形的弧长及面积公式
x的倾斜角是钝角,加钝角
【典例】1.若扇形的圆心角α=120°,弦长AB=12 cm,则弧长l=________cm. 2.已知扇形的周长为20 cm,当它的面积最大时,它的圆心角的弧度数为________.
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【解题导思】
序号 1 2 联想解题 由扇形的圆心角想到弧长公式l=|α|·r 由扇形的周长想到扇形面积公式S=lr,周长=l+2r,转化为函数求最值 【解析】1.设扇形的半径为r cm,如图.
由sin 60°=得r=4
cm,
所以l=|α|·r=×4=π(cm).
答案:π
2.因为扇形的周长为20,所以l+2r=20,即l=20-2r,所以扇形的面积
S=lr=(20-2r)·r=-r+10r=-(r-5)+25,所以当半径r=5时,扇形的面积最大为25,此时α=2(rad). 答案:2
有关弧长及扇形面积问题的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角分别取何值时,扇形的面积最大? 【解析】设圆心角是θ,半径是r,则2r+rθ=40.
2
2
2
2
又S=θr=r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)+100≤100,当且仅当r=10时,Smax=100,此时2×10+10θ=40,θ=2,所以当r=10,θ=2时,扇形的面积最大. 考点三 任意角三角函数的定义及应用
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命 题 1.考什么:(1)三角函数符号判断,比较大小、解不等式,运用定义求值等等. 精 (2)考查数学抽象,逻辑推理,数学运算等核心素养,以及数形结合的思想. 解 2.怎么考:与直线、诱导公式、三角恒等变换等结合考查判断符号、求三角函数值等等. 读 1.三角函数值符号的判断方法 (1)先分别判断每个三角函数值的符号. 学 (2)按照题中要求判断所求三角函数值的符号. 霸 2.利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤 好 (1)用边界值定出角的终边位置. 方 (2)根据不等式组定出角的范围. 法 (3)求交集,找单位圆中公共的部分. (4)写出角所满足的范围. 三角函数符号判断
【典例】(2019·衡水模拟)若sin θ·cos θ<0,A.第一象限角 C.第三象限角
B.第二象限角 D.第四象限角
>0,则角θ是 ( )
【解析】选D.由>0,得>0,所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0,
所以sin θ<0,所以θ为第四象限角.
知道哪些三角函数符号,可确定角所在象限?
提示:知sin θ,cos θ,tan θ中两个的符号,可确定角所在象限.
解不等式
【典例】函数y=的定义域为________.
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【解析】由题意可得sin x-≥0,即sin x≥.作直线y=交单位圆于A,B两点,
连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(图中阴影部分含边界)即为角x的终边的范围,故
满足条件的角x的集合为.
答案:
,k∈Z
利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是什么? 提示:(1)用边界值定出角的终边位置. (2)根据不等式组定出角的范围. (3)求交集,找单位圆中公共的部分. (4)写出角所满足的范围.
利用任意角三角函数定义求值
【典例】1.(2019·南昌模拟)已知角α的终边在直线y=-x上,且cos α<0,则tan α=________.
2.(2019·许昌模拟)设α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cos α=x,则tan α=________. 【解析】1.如图,由已知,角α的终边在第二象限,在其终边上任取一点P(x,y),则y=-x,由三角函数的定
义得tan α===-1.
答案:-1
2.因为α是第二象限角,所以cos α=x<0,即x<0.又cos α=x=
,解得x=-3,所以tan α==-.
答案:-
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2021版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.1任意角的概念与弧度制任意角的三角函数练习理北师大版
