九年级数学全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题26 图形的相似与位似(含解析)

由天下分享时间：2025/1/19 14:23:29 加入收藏我要投稿点赞

∵PE为⊙O的切线， ∴OM⊥PC， ∵AC⊥PC， ∴OM∥AC， ∴∠CAM＝∠AMO， ∵OA＝OM， ∠OAM＝∠AMO，

∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；∵AB为⊙O的直径， ∴∠AMB＝90°，

∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB， ∴△ACM∽△AMB， ∴

，

∴AM2＝AC?AB，故②正确； ∵∠APE＝30°，

∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°， ∵AB＝4， ∴OB＝2， ∴

的长为

，故③错误；

∵BD⊥PC，AC⊥PC， ∴BD∥AC， ∴， ∴PB＝

，

数学

∴，BD＝，

∴PB＝OB＝OA， ∴在Rt△OMP中，OM＝∴∠OPM＝30°， ∴PM＝2

，

，故④正确．

＝2，

∴CM＝DM＝DP＝

故答案为：①②④．

【点评】本题考查圆知识的综合应用，涉及切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质、弧长公式、含30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．

4.（2019?贵州毕节?3分）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）

A．100cm2

B．150cm2

C．170cm2

D．200cm2

【分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．

【解答】解：设AF＝x，则AC＝3x， ∵四边形CDEF为正方形， ∴EF＝CF＝2x，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴

＝

＝，

∴BC＝6x，

在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝2∴AC＝6

，，BC＝12

，

数学

∴剩余部分的面积＝×12故选：A．

×6﹣4×4

＝100（cm2），

【点评】本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

5.（2019?黑龙江哈尔滨?3分）如图，在?ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（）

A．

＝

B．

＝

C．

＝

D．

＝

【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．【解答】解：

∵在?ABCD中，EM∥AD ∴易证四边形AMEN为平行四边形 ∴易证△BEM∽△BAD∽△END ∴

＝＝＝＝

＝

，A项错误

，B项错误＝＝

，C项错误，D项正确

故选：D．

【点评】此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．

6.（2019?浙江宁波?4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD

＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 6.5或3 ．

数学

【分析】根据勾股定理得到AB＝

＝6，AD＝＝13，当⊙P

于BC相切时，点P到BC的距离＝6，过P作PH⊥BC于H，则PH＝6，当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18， ∴AB＝＝6，在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5， ∴AD＝＝13，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，过P作PH⊥BC于H，则PH＝6， ∵∠C＝90°， ∴AC⊥BC， ∴PH∥AC，

∴△DPH∽△DAC， ∴， ∴

＝

，

∴PD＝6.5， ∴AP＝6.5；

当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，过P作PG⊥AB于G，则PG＝6，

∵AD＝BD＝13， ∴∠PAG＝∠B， ∵∠AGP＝∠C＝90°， ∴△AGP∽△BCA， ∴， ∴

＝

，

∴AP＝3， ∵CD＝5＜6，

∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，综上所述，AP的长为6.5或3，故答案为：6.5或3．

数学

【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．