数学
∴当点P在BD的右侧时，m的最大值＝观察图象可知：当0＜m＜当m＝当m＞
＝，
时，满足条件的点P的个数有4个，
时，满足条件的点P的个数有3个，
时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
9.( 2019甘肃省兰州市)（本题9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝8cm，点D为BC的中点，BE＝DE.将∠BDE绕点D顺时针旋转a度（00≤a≤830）.角的两边分别交直线AB于M、N两点.设B.M两点间的距离为xcm，M、N两点间的距离为ycm. 小涛根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小涛的探究过程.请补充完整. （1）列表：下表的已知数据是根据B.M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值： x/cm y/cm 0 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 8 3 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.41 8.87
请你通过计算，补全表格.
（2）描点、连线：在平面直角坐标系xoy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y）.并画出函数y关于x的图象：
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势__________. (4)解决问题：当MN＝2BM时，BM的长度大约是_________cm（保留两位小数）.
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【答案】（1） x/cm y/cm 0 3 8 3.00 3.50 3.68 3.81 3.90 3.93 4.10 310 3.85 5.24 6.01 6.71 7.27 7.41 8.87 2.88 2.81 2.69 2.67 2.80 3.15 0.30 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3 （2）图略（描点可得）
（3）随着自变量x的不断增大，函数y呈现先减小再增大的趋势. （4）4和1.33
【考点】函数图象性质，三角形相似. 【考察能力】数据处理分析能力 【难度】难
【解析】 （1）当x＝0时，M点与N点分别和B点E点重合 MN＝BE＝3 当x＝
83时，假设DN交CA的延长线于点H ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C，
又∵D为BC的中点， BE＝DE.
∴∠B＝∠EDB， ED为AC边的中位线 根据旋转性质
∠B＝∠EDB＝∠C＝∠MDN， ∵∠NDB＝∠H+∠C(外角性质) ∠NDB＝∠MDB+∠MDN， ∴∠MDB+∠MDN＝∠H+∠C ∴∠MDB＝∠H， ∠B＝∠C， ∴△MDB∽△DHC ∴
CHBD＝DCBM， ∴
CH4＝48， CH＝6＝AC 即A点与H点重合 3
∴MN＝6－BM＝
103. (2)根据表格描点可得.
（3）根据图象可得
（4）∵MN＝2BM
设BM＝x，MN＝2x，
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数学
EN＝3x－3 ， AN＝6－3x， ∵∠NDB＝∠H+∠C(外角性质) ∠NDB＝∠MDB+∠MDN， ∴∠MDB+∠MDN＝∠H+∠C ∴∠MDB＝∠H， ∠B＝∠C， ∴△MDB∽△DHC
CHDC＝， BDBMCH41616∴＝， ∴CH＝， HA＝HC－AC＝－6
x4xx∴
又∵△HAN∽△DEN
AHAN＝， EDNE16?66?3x4∴x＝， 解得： x1＝4， x2＝≈1.33
33x?33∴
答：BM为4或1.33.
10．(2019安徽)（14分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°． （1）求证：△PAB∽△PBC； （2）求证：PA＝2PC；
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12＝h2?h3．
【分析】（1）利用等式的性质判断出∠PBC＝∠PAB，即可得出结论； （2）由（1）的结论得出
，进而得出
，即可得出结论；
，即h3＝2h2，再由△PAB∽△PBC，
（3）先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出判断出
，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC， ∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC
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又∠APB＝135°， ∴∠PAB+∠PBA＝45° ∴∠PBC＝∠PAB
又∵∠APB＝∠BPC＝135°， ∴△PAB∽△PBC
（2）∵△PAB∽△PBC ∴
在Rt△ABC中，AB＝AC， ∴
∴
∴PA＝2PC
（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC.AC于点D，E，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3， ∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270° ∴∠APC＝90°， ∴∠EAP+∠ACP＝90°，
又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90° ∴∠EAP＝∠PCD， ∴Rt△AEP∽Rt△CDP， ∴，即
，
∴h3＝2h2
∵△PAB∽△PBC， ∴
， ∴
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∴
即：h12＝h2?h3．
．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP＝∠PCD是解本题的关键．
11．(2019安徽)（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（ ）
A．3.6
B．4
C．4.8
D．5
【分析】根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得CD的长，本题得以解决． 【解答】解：作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH， ∴
，
∵EF⊥AC，∠C＝90°， ∴∠EFA＝∠C＝90°， ∴EF∥CD， ∴△AEF∽△ADC， ∴∴
， ，
∵EG＝EF，
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九年级数学全国各地中考数学试题分类汇编(第一期) 专题26 图形的相似与位似(含解析)
