第7章 立体几何 第5讲
A组 基础关
1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m C．AB∥β 答案 D
解析 如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β，只有D不一定成立，故选D.
B．AC⊥m D．AC⊥β
2．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，
AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，
在这个空间图形中必有( )
A．AG⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF 答案 B
解析 根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又
B．AH⊥平面EFH D．HG⊥平面AEF
EF?平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不
正确；已证平面HAG⊥平面AEF，若证HG⊥平面AEF，只需证HG⊥AG，已证AH⊥HG，故HG⊥AG不成立，所以HG与平面AEF不垂直，∴D不正确．故选B.
3. 如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )
1
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45° 答案 D
解析 选项A，B，C显然错误．∵PA⊥平面ABC，∴∠PDA是直线PD与平面ABC所成的角．∵ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB.∵tan∠PDA＝成的角为45°.故选D.
4．(2017·江西南昌摸底)如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在( )
PA2AB＝＝1，∴直线PD与平面ABC所AD2AB
A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 答案 A
解析 因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．故选A.
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
2
A．－105
B.
105 C．－155
D.
155
答案 B
解析 如图，延长BE与B1C1的延长线交于点F，
连接FD1，
因为E为C1C的中点， 四边形BCC1B1是正方形， 所以C1F＝B1C1＝BC，
所以∠C1D1F＝∠C1D1B1＝45°， 所以FD1⊥B1D1，易证FD1⊥平面BB1D1D. 所以∠BFD1是直线BE与平面B1BD所成的角． 设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则
D1F＝B1D1＝2a. BF＝
2a2
＋a2
＝5a，
3
所以sin∠BFD1＝
D1F210＝＝. BF55
6．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1
的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为( )
1
A. 23C. 2答案 A
解析 设B1F＝x，
因为AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF， 所以AB1⊥DF.
由已知可以得A1B1＝2， 矩形ABB1A1中，tan∠FDB1＝tan∠A1AB1＝
B．1 D．2
B1F， B1DA1B12
＝. AA12
B1F2＝. B1D2
又∠FDB1＝∠A1AB1，所以故B1F＝
221
×＝.故选A. 222
7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点E，F，G分别是线段DC，D1D和D1B上的动点，给出下列结论：
4
①对于任意给定的点E，存在点F，使得AF⊥A1E； ②对于任意给定的点F，存在点E，使得AF⊥A1E； ③对于任意给定的点G，存在点F，使得AF⊥B1G； ④对于任意给定的点F，存在点G，使得AF⊥B1G. 其中正确结论的个数是( ) A．0 C．2 答案 C
B．1 D．3
解析 因为DE⊥平面A1D，根据三垂线定理，对于任意给定的点E，A1E在平面A1D的射影为A1D，所以存在点F，使得AF⊥A1D，所以AF⊥A1E，①正确；如果对于任意给定的点F，存在点E，使得AF⊥A1E；那么AF⊥A1D，又AD1⊥A1D，得到过A有两条直线与A1D垂直，故②错误；只有AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影时，AF⊥B1G，所以当G位于D1B的上半部分时，在D1D上不存在F点，使AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影，③错误；对任意给定的点F，存在平面BCC1B1上的线段B1G′和AF垂直，且B1G′为B1G的投影，所以④正确，所以C正确．
8．如图，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝________.
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2024版高考数学一轮复习第7章立体几何第5讲学案理解析版
