第7章 立体几何 第5讲
A组 基础关
1.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A?l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )
A.AB∥m C.AB∥β 答案 D
解析 如图所示,AB∥l∥m;AC⊥l,m∥l?AC⊥m;AB∥l?AB∥β,只有D不一定成立,故选D.
B.AC⊥m D.AC⊥β
2.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,
AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,
在这个空间图形中必有( )
A.AG⊥平面EFH C.HF⊥平面AEF 答案 B
解析 根据折叠前、后AH⊥HE,AH⊥HF不变,∴AH⊥平面EFH,B正确;∵过A只有一条直线与平面EFH垂直,∴A不正确;∵AG⊥EF,EF⊥GH,AG∩GH=G,∴EF⊥平面HAG,又
B.AH⊥平面EFH D.HG⊥平面AEF
EF?平面AEF,∴平面HAG⊥AEF,过H作直线垂直于平面AEF,一定在平面HAG内,∴C不
正确;已证平面HAG⊥平面AEF,若证HG⊥平面AEF,只需证HG⊥AG,已证AH⊥HG,故HG⊥AG不成立,所以HG与平面AEF不垂直,∴D不正确.故选B.
3. 如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是( )
1
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC C.直线BC∥平面PAE
D.直线PD与平面ABC所成的角为45° 答案 D
解析 选项A,B,C显然错误.∵PA⊥平面ABC,∴∠PDA是直线PD与平面ABC所成的角.∵ABCDEF是正六边形,∴AD=2AB.∵tan∠PDA=成的角为45°.故选D.
4.(2017·江西南昌摸底)如图,在四面体ABCD中,已知AB⊥AC,BD⊥AC,那么点D在平面ABC内的射影H必在( )
PA2AB==1,∴直线PD与平面ABC所AD2AB
A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 答案 A
解析 因为AB⊥AC,BD⊥AC,AB∩BD=B,所以AC⊥平面ABD,又AC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABD,所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上.故选A.
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是C1C的中点,则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
2
A.-105
B.
105 C.-155
D.
155
答案 B
解析 如图,延长BE与B1C1的延长线交于点F,
连接FD1,
因为E为C1C的中点, 四边形BCC1B1是正方形, 所以C1F=B1C1=BC,
所以∠C1D1F=∠C1D1B1=45°, 所以FD1⊥B1D1,易证FD1⊥平面BB1D1D. 所以∠BFD1是直线BE与平面B1BD所成的角. 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则
D1F=B1D1=2a. BF=
2a2
+a2
=5a,
3
所以sin∠BFD1=
D1F210==. BF55
6.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1
的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为( )
1
A. 23C. 2答案 A
解析 设B1F=x,
因为AB1⊥平面C1DF,DF?平面C1DF, 所以AB1⊥DF.
由已知可以得A1B1=2, 矩形ABB1A1中,tan∠FDB1=tan∠A1AB1=
B.1 D.2
B1F, B1DA1B12
=. AA12
B1F2=. B1D2
又∠FDB1=∠A1AB1,所以故B1F=
221
×=.故选A. 222
7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F,G分别是线段DC,D1D和D1B上的动点,给出下列结论:
4
①对于任意给定的点E,存在点F,使得AF⊥A1E; ②对于任意给定的点F,存在点E,使得AF⊥A1E; ③对于任意给定的点G,存在点F,使得AF⊥B1G; ④对于任意给定的点F,存在点G,使得AF⊥B1G. 其中正确结论的个数是( ) A.0 C.2 答案 C
B.1 D.3
解析 因为DE⊥平面A1D,根据三垂线定理,对于任意给定的点E,A1E在平面A1D的射影为A1D,所以存在点F,使得AF⊥A1D,所以AF⊥A1E,①正确;如果对于任意给定的点F,存在点E,使得AF⊥A1E;那么AF⊥A1D,又AD1⊥A1D,得到过A有两条直线与A1D垂直,故②错误;只有AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影时,AF⊥B1G,所以当G位于D1B的上半部分时,在D1D上不存在F点,使AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影,③错误;对任意给定的点F,存在平面BCC1B1上的线段B1G′和AF垂直,且B1G′为B1G的投影,所以④正确,所以C正确.
8.如图,平面ABC⊥平面BDC,∠BAC=∠BDC=90°,且AB=AC=a,则AD=________.
5
2020版高考数学一轮复习第7章立体几何第5讲学案理解析版
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