到两个定点距离积为定值的轨迹
----卡西尼椭圆形线的几何画板作法
常州市第二中学 季传军
1.问题的提出
一次在《圆锥曲线》的高三温习课上，小结了与到两定点距离有关的点的轨迹问题： ①动点P到两定点F1,F2距离和为定值2a，即PF1?PF2?2a(2a?F1F2)的轨迹是椭圆； ．②动点P到两定点F1,F2距离差的绝对值为定值2a，即|PF1?PF2|?2a(2a?F1F2)的轨迹是双曲线； ．③动点P到两定点F1,F2距离商为定值k，即．
PF1?k(k?1)的轨迹是圆。 PF2课堂上专门快就有学生提出：到两定点距离积为定值的点的轨迹是什么呢？课前我对那个问题．没有试探过，再加上高三温习课时刻紧迫，就以“那个问题在中学时期不作要求”敷衍过去，哪知课后两个学生追着我问：那个轨迹究竟是什么？这下我只有“被迫”去研究一下了。 2.问题学习研究进程
我先在网上查阅了相关资料，了解到到两点距离积为定值的点的轨迹是卡西尼椭圆形线，如图，能够分成几类图形，其中一个特殊情形（图3）是伯努利双纽线（微分几何一个重要研究图形），就把这些告知学生，一样会带来很多的“什么缘故”，那么如何将这些图形动态直观的展现给学生呢？我想到了几何画板。
（1） （2） （3） （4）
问题：动点P到两定点F1,F2的距离积为定值k，即PF1?PF2?k，F1F2?2c，试讨论点P的轨迹。
P轨迹曲线r1F1r2F2c = 1.40r1 = 2.30厘米k = 5.19kr2==2.25厘米r1r1 R1k c CK
作图思路：
①第一作可变线段用来操纵两核心F1,F2的距离（如图通过拖动C来改变F1,F2的距离，下同）； ②作可变线段用K来操纵k的值
③作可变线段r1用，以F1为圆心r1为半径作圆F1，计算设圆F1，圆F2的交点为P，显然PF1?PF2?r1?r2?k
k并记为r2，以F2为圆心r2为半径作圆F2，r1④选中点R1,P构造轨迹曲线。
如此通过拖动点R1，可直观地看到点P在轨迹曲线上运动，而拖动K或C则能够看到曲线形状的改变： P r1r2 F1F2F1F2 c = 2.20k = 9.66c = 3.23k = 5.29 kkr1 = 2.78厘米r2==3.48厘米r = 2.30厘米r2==2.30厘米 1r1r1
做出以上动态图形，应该能够给学生以交待了，但上述图中仍然有“什么缘故”，如上图右图中的两圆是相离的没有交点，哪里来的交点的轨迹呢？事实上两圆是“虚交”的（可简单明白得为两圆方程联立方程组的解是虚数），而这对学生来讲又是不可想象的，还应再作进一步的试探。
上述作图进程是在无坐标系的情形下完成，也确实是作图进程没有考虑卡西尼椭圆形线的代数形式，直觉上此问题涉及诸多的长度问题，应该能够在极坐标下作出其动态图形，恰如圆锥曲线在
ep极坐标下的统一方程：??是如此的和谐美好，于是：
1?ecos?先以F1,F2所在直线为x轴，F1F2的中垂线为轴成立直角坐标系，设P(x,y)，再以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴成立极坐标系，P(?,?)，则有x??cos?,y??sin?，进而??x2?y2 卡西尼椭圆形线的直角坐标方程为：
(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?a2 (a2?k)
此方程的对应曲线无法在几何画板中直接作出，（几何画板只能直接作出方程形如y?f(x)或
x?f(y)的曲线），化为极坐标方程：
??x?c?2?y2????x?c?2?y2??a4
????即 ??2?c2?2c?cos?????2?c2?2c?cos???a4 因此极坐标方程为：
?4?2c2?2cos2??a4?c4
在极坐标系下仍然无法直接作对应的曲线（几何画板在极坐标系下只能直接作出方程形如
??f(?)或??f(?)的曲线），研究方程发觉能够用?来表示?：
?4?a4?c4cos2??，
2c2?2若是限定??[0,]则：
2?1?4?a4?c4???arccos ??[0,]
22c2?22如此就能够够作出对应曲线了：
θ = 0.5?cos-1?r4 a4 + c42?c2?r2?Oa = 3.68c = 3.12CA①作可变线段OC，通过点C操纵c值； ②作可变线段OA，通过点A操纵a值；
1?4?a4?c4③作方程??arccos对应的曲线，如上图。
22c2?2问题仍然存在，由于限定了??[0,]，因此只能作出在直角坐标下第一象限的曲线，考虑到
2方程(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?a2 的用?x换x方程不变、用?y换y方程不变的特点，明白曲线既关于x轴对称，又关于y轴对称，因此依照对称性即可作出该曲线在第二、三、四象限的图形：
4?25O254CA 通过改变a,c的值能够取得卡西尼椭圆形线的各类情形：
222O2OCAAC2OAC2
到两个定点距离积为定值的轨迹 卡西尼椭圆形线的几何画板作法 常州
