由A(﹣4,﹣6),B(4,﹣6),可得kCA=,kCB=,
∴tan∠BCA===,
令t=y+6(t>0),则tan∠BCA=∴t=2
=≥
时,位置C对隧道底AB的张角最大,
故选:A.
【点评】本题考查抛物线的方程与应用,考查基本不等式,确定抛物线的方程及tan∠BCA,正确运用基本不等式是关键.
10.若f(x)为定义在区间G上的任意两点x1,x2和任意实数λ(0,1),总有f(λx1+(1﹣λ)x2)≤λf(x1)+(1﹣λ)f(x2),则称这个函数为“上进”函数,下列函数是“上进”函数的个数是( ) ①f(x)=,②f(x)=,③f(x)=A.4 B.3 C.2 D.1 【考点】函数恒成立问题.
【专题】新定义;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
,④f(x)=
.
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。
【分析】由新定义可得函数在区间G上即为严格下凸函数,求f″(x>0恒成立即可判断.
【解答】解:由区间G上的任意两点x1,x2和任意实数λ(0,1), 总有f(λx1+(1﹣λ)x2)≤λf(x1)+(1﹣λ)f(x2),
等价为对任意x∈G,有f″(x)>0成立(f″(x)是函数f(x)导函数的导函数),
①f(x)=的导数f′(x)=
,f″(x)=
,故在(2,3)上大于
0恒成立,故①为“上进”函数; ②f(x)=
的导数f′(x)=
,f″(x)=﹣?
<0恒成立,故②不
为“上进”函数; ③f(x)==
故③不为“上进”函数; ④f(x)=
的导数f′(x)=
,f″(x)=
,当x∈(2,
的导数f′(x)=
<0恒成立,
,f″(x)
3)时,f″(x)>0恒成立. 故④为“上进”函数. 故选C.
【点评】本题考查新定义的理解和运用,同时考查导数的运用,以及不等式恒成立问题,属于中档题.
二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。
11.在各项为正数的等比数列{an}中,若a6=a5+2a4,则公比q= 2 . 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列.
【分析】根据等比数列的通项公式化简a6=a5+2a4,列出关于q的方程,由各项为正数求出q的值.
【解答】解:由a6=a5+2a4得,a4q2=a4q+2a4, 即q2﹣q﹣2=0,解得q=2或q=﹣1, 又各项为正数,则q=2, 故答案为:2.
【点评】本题考查等比数列的通项公式,注意公比的符号,属于基础题.
12.如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环)的茎叶图,则成绩较为稳定(方差较小)的运动员是 甲 .
【考点】茎叶图.
【专题】计算题;概率与统计.
【分析】【解法一】计算甲、乙的平均数与方差,比较即得结论; 【解法二】根据茎叶图中的数据,利用方差的意义,也可得出正确的结论.
【解答】解:【解法一】甲的平均数是
=(87+89+90+91+93)=90,
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。
方差是
= [(87﹣90)2+(89﹣90)2+(90﹣90)2+(91﹣90)2+
(93﹣90)2]=4; 乙的平均数是方差是
=(78+88+89+96+99)=90,
= [(78﹣90)2+(88﹣90)2+(89﹣90)2+(96﹣90)2+
(99﹣90)2]=53.2; ∵
<
,∴成绩较为稳定的是甲.
【解法二】根据茎叶图中的数据知,
甲的5个数据分布在87~93之间,分布相对集中些,方差小些; 乙的5个数据分布在78~99之间,分布相对分散些,方差大些; 所以甲的成绩相对稳定些. 故答案为:甲.
【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题,是基础题目.
13.已知(ax+1)5的展开式中x2的系数与数相等,则a=
.
的展开式中x3的系
【考点】二项式定理的应用;二项式系数的性质. 【专题】计算题.
【分析】分别计算出(ax+1)5的展开式中x2的系数和
的展开
式中x3的系数,利用它们相等,建立方程关系,进行求解即可. 【解答】解:(ax+1)5的展开式中x2的项为数为10a2,
=10a2x2,x2的系
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。
与
的展开式中x3的项为=5x3,x3的系数为5,
∴10a2=5, 即a2=,解得a=故答案为:
.
.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键.
14.直线ax+
by=1与圆x2+y2=1相交于A,B两点(其中a,b是实
数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),则点P(a,b)与点(1,0)之间距离的最小值为 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;直线与圆.
【分析】根据直线和圆的位置关系以及两点间的距离公式即可得到结论.
【解答】解:∵△AOB是直角三角形(O是坐标原点), ∴圆心到直线ax+即d=
=,
by=1的距离d=
, .
整理得a2+2b2=2,
则点P(a,b)与点Q(1,0)之间距离d=≥
,
=
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登。
2020—2021年新高考总复习数学(理)高考适应性试题及答案解析一.docx
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