学业分层测评(八)
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学业达标]
一、选择题
1．以抛物线y2＝2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系为( )
【导学号：63470034】
A．相交 C．相切
B．相离 D．不确定
|PF|
【解析】 设P(x0，y0)，则以|PF|为直径的圆半径r＝2.又圆心到y轴的距离|PF|
d＝2，∴该圆与y轴相切．
【答案】 C
2．过点M(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线共有( ) A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】 由于M(2,4)在抛物线上，故满足条件的直线共有2条，一条是与x轴平行的线，另一条是过M的切线，如果点M不在抛物线上，则有3条直线．
【答案】 B
3．设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，抛物线上的点(k，－2)与F的距离为4，则k的值为( )
A．4 C．4或－4
B．－2 D．2或－2
2
p
【解析】 由题意知抛物线方程可设为x＝－2py(p>0)，则2＋2＝4， ∴p＝4，∴x2＝－8y，将(k，－2)代入得k＝±4. 【答案】 C
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 C．x＝2
B．x＝－1 D．x＝－2
?p?
【解析】 抛物线的焦点F?2，0?，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x
??pp?p?－2.即x＝y＋2，将其代入y2＝2px＝2p?y＋2?＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0.所以
??y1＋y2
2
＝p＝2.所以抛物线的方程为y＝4x，准线方程为x＝－1. 2
【答案】 B
5．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )
A．18 C．36
B．24 D．48
【解析】 不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，由于l垂直于对称轴且p
过焦点，故直线l的方程为x＝2.代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，1
故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，故S△ABP＝2×6×12＝36.
【答案】 C 二、填空题
6．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________．
【解析】 过焦点且与对称轴垂直的弦是通径，即2p＝16，所以抛物线的方程为x2＝±16y.
【答案】 x2＝±16y
7．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)，若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________.
【导学号：63470035】
p?p?
【解析】 由已知得点B的纵坐标为1，横坐标为4，即B?4，1?将其代入y2＝
??pp33
2px得p＝2，则点B到准线的距离为2＋4＝4p＝42.
3
【答案】 42
8．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上； ②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
则使抛物线方程为y2＝10x的必要条件是________(要求填写合适条件的序号)． 【解析】 由抛物线方程y2＝10x，知它的焦点在x轴上，所以②适合． ?5?
又∵它的焦点坐标为F?2，0?，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，
??∴⑤也合适．
而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意． ∴应填序号为②⑤. 【答案】 ②⑤ 三、解答题
9．如图2-2-3所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程．
图2-2-3
【解】 过A，B分别作准线的垂线AA′，BD，垂足为A′，D，则|BF|＝|BD|，又2|BF|＝|BC|.
∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又|AF|＝3， ∴|AA′|＝3，|AC|＝6，|FC|＝3. 13
∴F到准线距离p＝2|FC|＝2，∴y2＝3x.
10．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线的方程． 【解】 ∵过焦点F，垂直于x轴的弦长为4<36， ∴弦所在直线斜率存在，
北师大高中数学选修学业分层测评8 含解析
