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2020年高考新课标（全国卷2）数学（理科）模拟试题（一）
考试时间：120分钟 满分150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
???x2?1?1、已知集合A??x?0?，B??y?2?y?2?，则AIB?
x????1? A．??2,?1?U?1,2? B．? C．??1,1? D．?2、欧拉公式eiθ＝cosθ+isinθ把自然对数的底数e，虚数单位 i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z满足（eiπ+i）?z＝i，则|z|＝（ ） A．1 B．2 2C．3 2D．2 23、某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（ ） A．11 B． 610C．1 5D．5 64、明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2，被5除余3，被7除余4，求n的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为 A．53 B．54 C．158 D．263 5、若sin??sin??0，则下列不等式中一定成立的是 A .sin2??sin2? B.sin2??sin2? C.cos2??cos2? D. cos2??cos2? 6、若实数x，y满足|x|?|y|?2，则M?x?y?2x的最小值为（ ） 22A．?2 B．0 C．7、设函数f(x)?cos(2x?12?1 D．? 222?3?)?sin(2x?)，将函数f(x)的图像向左平移? (?>0)个单位长32度，得到函数g(x)的图像，若g(x)为偶函数，则?的最小值是
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A.
??2?5?B.C.D.
6 3 3 6
228、若实数a，b满足a?b?1，m?loga(logab)，n?(logab)，l?logab，则m，n，l的大
小关系为（ ）
A．m?l?n B．l?n?m C．n?l?m D．l?m?n
x2y2??1的右支上一点F1，F2分别为双曲线的左右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆9、P是双曲线34心横坐标为（ ） A．3 2B．2 |x|C．7 D．3 10、已知函数f(x)?x?2?2019，则使得f(2x)?f(x?2)成立的x的取值范围为 22(??,?)U(2,??)(?,2) C．(??,2) D．(2,??) A． B．3311、如图，O为?ABC的外心，AB?4，AC?2，?BAC为钝角，M是uuuuruuur边BC的中点，则AM?AO的值为（ A.4 B.5 ） C.6 D.7 ?xlnx?2x,x?0?12、已知函数f?x???23的图像上有且仅有四个不同的点关于直线y??1的对称点在x?x,x?0?2?y? kx?1的图像上，则实数k的取值范围是（ ） ?1?A．?,1? ?2?B．??13?,? 2?4?C．?,1? ?1??3?D．??1?,2? ?2?二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 52513、已知(2?x)?a0?a1(1?x)?a2(1?x)?...?a5(1?x)?,则 a2? . 14、若△ABC的内角A、B、C满足sinA?2sinB?2sinC，则cosC的最小值是 ．
15、根据疾病防控的需要，某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作，现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加.为确定最终驰援武汉的人选，医院领导组五位成员先各推荐两名人员，分别为“丁、戊”，“丙、戊”，“甲、乙”，“乙、戊”，“甲、丁”．根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选.根据以上信息判断，最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是 ．
x2y216、已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，经过原点的直线与C交于A，B两点，若
ab
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?AFB?150?，则C的离心率的取值范围为______________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17、（12分）已知等比数列?an?的公比q?1，且a1?a3?a5?42，a3?9是a1，a5的等差中项，
2n数列?bn?的通项公式bn?，n?N*.（1）求数列?an?的通项公式；（2）求数an?1?an?1?1列?bn?的前n项和Sn.
18、（12分）如图，四棱锥P?ABCD中，侧面PAD为等边三角形，且平面PAD?底面ABCD，
AB?BC?1AD?1，?BAD??ABC?900.（1）证明：：PD?AB；（2）点M在棱PC上，221，求实数?的值. 7
且PM??PC，若二面角M?AB?D大小的余弦值为
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19、（12分）某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节．已知共有8000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图．（1）规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；（2）由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且σ2＝362．利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于91分的人数；（3）预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：①每人的复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉（即减去）一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为0.1k（k（＝1，2n））；③每答对一题加1.5分，答错既不加分也不减分；④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知学生甲答对每道题的概率均为0.7，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？ （1）求出样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩优良的人数为15人，由此能求出恰有1人预赛成绩优良的概率．（2）样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：
10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15＝53，则μ＝53，由σ2＝362，得σ＝19，从而P（Z≥91） ＝P（Z≥μ+2σ）=?11?P???2??Z???2????0.02275，由此能求出估计全市参加参赛的全 ???2体学生中成绩不低于91分的人数．（3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则ξ～B（n，0.7），且Eξ＝0.7n，记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则X＝1.5ξ，EX＝1.5Eξ＝1.05n，为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为：0.1×（1+2+3+…+n）＝0.05（n2+n），设甲答完n题的分数为M（n），则M（n）＝100﹣0.05（n2+n）+1.05n＝﹣0.05（n﹣10）2+105，由此能求出学生甲期望获得最佳复赛成绩的答题量n的值．参考数据：262?19；若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9973．
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20、（12分）设抛物线y?2px?p?0?的焦点为F，直线l与抛物线交于M，N两点.（1）若l过
2点F，且MN?3p，求l的斜率；（2）若P??p?,p?，且l的斜率为-1，当P?l时，求l在y轴上?2?的截距的取值范围（用p表示），并证明?MPN的平分线始终与y轴平行.
21、（12分）已知函数f?x??xlnx?的单调区间；（2）证明：当0?m?m2e1x?x??0?x?e2?．（1）当m?时，求函数f?x?22e1时，f?x??0． 2e
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