因式分解的应用
上海市第十中学 王文辉
（本讲适合初中）
因式分解是中学代数中的一种重要的变形，它与整式、分式联系极为密切，分式运算、解方程以及一些恒等变换，都经常用到因式分解。它不仅是初中代数中的一个重要的基础知识，它还是一种重要的数学思想方法，在今后的数学学习中应用很广。下面，向同学们介绍一些因式分解的初步应用。
一、利用因式分解判断整除性
例1 2n－1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数)，证明这两个连续奇数的平方差
能被8整除．
证明 (2n＋1)－(2n－1)=(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1) =4n·2=8n ∴ 这两个连续奇数的平方差能被8整除．
例2 x+y+z－3xyz能被(x+y+z)整除． 证明 因式分解，得原式即
(x+y+z)(x+y+z－xy－yz－zx)， ∴x3+y3+z3－3xyz能被(x+y+z)整除．
例3 设4x－y为3的倍数，求证：4x+7xy－2y能被9整除． 证明 ∵4x+7xy－2y
=(4x－y)(x+2y)，
又∵ x+2y=4x－y－3x+3y =(4x－y)－3(x－y)． ∴原式＝(4x－y)［(4x－y)－3(x－y)］
＝(4x－y)－3(4x－y)(x－y)
∵4x－y为3的倍数 ∴4x+7xy－2y能被9整除
222222222233322例4 设实数a 1 A. x ∴x－y=(a＋b)(c＋d)－(a＋c)(b＋d)=ac＋bd－ab－cd=(a－d)(c－b)<0，即；x 说明：因式分解能使x－y和y－x两个差式显示出正负性质，达到可比较的目的。 二、 因式分解解计算题 例5 计算下列各题： (1)2333.14＋5.9331.4＋18030.314 19953－2?19952－1993 (2) 321995＋1995－1996 解：(1)适当变形之后，提取公因式： 原式＝2333.14＋5933.14＋1833.14 ＝3.143(23＋59＋18)=3.143100=314 19952(1995－2)－1993 (2)原式＝ 21995(1995＋1)－19961993(19952－1)1993 ? ?1996(19952－1)1996 说明：上述这些计算，巧妙应用了因式分解，使运算过程显得灵活、简捷。 例6 积(1＋11111)(1＋)(1＋)(1＋)?(1＋) 1?32?43?54?698?100(1＋1)的整数部分为( ) 99?101 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 分析：这道题，要求99个括号里的数值的乘积，当然不能用常规方法去实乘。观察其特点：每个分母是相邻奇数或偶数的积，记为n(n＋2)；每个括号的分子相加又都是n(n＋2)＋1=(n＋1)2，于是，设所求式子之积为S，则有 223242529921002????? S? 1?32?43?54?698?10099?10122?32?42?52?992?1002200? ? 1?2?32?42?52?992?100?101101 ?1 2 说明：这时用了因式分解，使隐含的数量关系明显化。 三、利用因式分解化简求值 例7 已知ac＋bd=0，则ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)的值等于___________。 解：原式=(abc2＋a2cd)＋(abd2＋b2cd) =ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc) =(ad＋bc)(ac＋bd)=(ad＋bc)30=0 说明：利用因式分解，先化简代数式，上述的求值题变得十容易了。 例8 已知a－b=3, a－c=326, 求(c—b)[(a－b)+(a－c)(a－b)+(a－c)]的值 分析：所求的代数式中含有c－b，可以通过已知的a－b=3与a－c=326来推得 c－b 解：由已知得c－b=3－326 所以 原式=（3－326）[32?326?3?(326)2] =32?(326)3 22 =27－26=1 四、利用因式分解解方程 例9 解方程（x2＋4x)2－2(x2＋4x)－15=0 解：将原方程左边分解因式，可得 x2＋4x＋3)(x2＋4x－5)=0 (x＋1)(x＋3)(x－1)(x＋5)=0 由此得x+1＝0或x＋3=0，或x－1=0，或x＋5=0 ?原方程的解是x1=－1，x2=－3，x3=1，x4=－5 例10 求方程4x2－4xy－3y2=5的整数解。 解：原方程或化为(2x－3y)(2x＋y)=5 因为x、y是整数，故2x－3y和2x＋y必是整数。又∵5=531=(－5)3(－1)，因此原方程可化为四个方程组： ?2x－3y?1，?2x－3y?5，??2x＋y?5；??2x＋y?1； ?2x－3y?－1，?2x－3y?－5，??2x＋y?－5；??2x＋y?－1。 3 解这四个方程组，便可得原方程的四组解为： ??x1?2，?x2?1，?x3?－2，?x4?－1， ????y1?1；?y2?－1；?y3?－1；?y4?1。 说明：因式分解的运用，使这两道方程转化为我们熟悉的一次方程。 五、利用因式分解化简 例11 化简 31(111...1?333...3000...0) 3103n?1分析 111…1= 9333…3000…0=33(111…1000…0) =33(111…1－111…1) 102n?110n?1=33(－) 99 解：∵ 1?(111...1?333...3000...0) 31103n?1102n?110n?1?3??3?) =?(399911?(103n?3?102n?3?10n?1) 391?(10n?1)3 =27=∴ 原式=31?(10n?1)3 27= 1?(10n?1)=333…3 3 六、利用因式分解证明等式（不等式） 例12 已知三角形的三边a、b、c满足等式a?b?c?3abc，证明这个三角形 333是等边三角形 分析 要证明以a、b、c为边的三角形是等边三角形，只要能证明a=b=c即可，题中 给出了关于a、b、c的关系式a?b?c?3abc，利用因式分解将它变形，在利 4 333用非负数的性质即可。 解：已知a3?b3?c3?3abc 即 (a+b+c)(a2?b2?c2－ab－bc－ca)=0 ∵a+b+c≠0 ∴a2?b2?c2－ab－bc－ca=0 ∴(a2?2ab?b2)+(b2?2bc?c2)+(c2?2ac?a2)=0 ∴(a?b)2=(b?c)2=(c?a)2=0 ∴a=b=c ∴这个三角形是等边三角形 例13 设a、b、c为△ABC的三边，求证a2?b2?c2?2bc<0 证明：a2?b2?c2?2bc=a2?(b2?c2?2bc) =a2?(b?c)2 =(a+b+c)(a－b－c) ∵a、b、c为△ABC的三边 ∴a+b+c>0 a－b－c<0 ∴(a+b+c)(a－b－c)<0 ∴a2?b2?c2?2bc<0 七、利用因式分解证明几何问题 例14 已知：a、b为两圆的半径，c为两圆的圆心距，若方程x2-2ax+b2-(b-a)c=0有相等的实数根，求证：两圆相等或外切．证明 对于方程x2-2ax+b2-(b-a)c=0， 有 △=4a2-4b2+4(b-a)c=0， 即 (a-b)(a+b-c)=0， 5
因式分解的应用 - 初中数学竞赛讲义
