因式分解的应用
上海市第十中学 王文辉
(本讲适合初中)
因式分解是中学代数中的一种重要的变形,它与整式、分式联系极为密切,分式运算、解方程以及一些恒等变换,都经常用到因式分解。它不仅是初中代数中的一个重要的基础知识,它还是一种重要的数学思想方法,在今后的数学学习中应用很广。下面,向同学们介绍一些因式分解的初步应用。
一、利用因式分解判断整除性
例1 2n-1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数),证明这两个连续奇数的平方差
能被8整除.
证明 (2n+1)-(2n-1)=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) =4n·2=8n ∴ 这两个连续奇数的平方差能被8整除.
例2 x+y+z-3xyz能被(x+y+z)整除. 证明 因式分解,得原式即
(x+y+z)(x+y+z-xy-yz-zx), ∴x3+y3+z3-3xyz能被(x+y+z)整除.
例3 设4x-y为3的倍数,求证:4x+7xy-2y能被9整除. 证明 ∵4x+7xy-2y
=(4x-y)(x+2y),
又∵ x+2y=4x-y-3x+3y =(4x-y)-3(x-y). ∴原式=(4x-y)[(4x-y)-3(x-y)]
=(4x-y)-3(4x-y)(x-y)
∵4x-y为3的倍数 ∴4x+7xy-2y能被9整除
222222222233322例4 设实数a
1
A. x ∴x-y=(a+b)(c+d)-(a+c)(b+d)=ac+bd-ab-cd=(a-d)(c-b)<0,即;x 说明:因式分解能使x-y和y-x两个差式显示出正负性质,达到可比较的目的。 二、 因式分解解计算题 例5 计算下列各题: (1)2333.14+5.9331.4+18030.314 19953-2?19952-1993 (2) 321995+1995-1996 解:(1)适当变形之后,提取公因式: 原式=2333.14+5933.14+1833.14 =3.143(23+59+18)=3.143100=314 19952(1995-2)-1993 (2)原式= 21995(1995+1)-19961993(19952-1)1993 ? ?1996(19952-1)1996 说明:上述这些计算,巧妙应用了因式分解,使运算过程显得灵活、简捷。 例6 积(1+11111)(1+)(1+)(1+)?(1+) 1?32?43?54?698?100(1+1)的整数部分为( ) 99?101 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 分析:这道题,要求99个括号里的数值的乘积,当然不能用常规方法去实乘。观察其特点:每个分母是相邻奇数或偶数的积,记为n(n+2);每个括号的分子相加又都是n(n+2)+1=(n+1)2,于是,设所求式子之积为S,则有 223242529921002????? S? 1?32?43?54?698?10099?10122?32?42?52?992?1002200? ? 1?2?32?42?52?992?100?101101 ?1 2 说明:这时用了因式分解,使隐含的数量关系明显化。 三、利用因式分解化简求值 例7 已知ac+bd=0,则ab(c2+d2)+cd(a2+b2)的值等于___________。 解:原式=(abc2+a2cd)+(abd2+b2cd) =ac(bc+ad)+bd(ad+bc) =(ad+bc)(ac+bd)=(ad+bc)30=0 说明:利用因式分解,先化简代数式,上述的求值题变得十容易了。 例8 已知a-b=3, a-c=326, 求(c—b)[(a-b)+(a-c)(a-b)+(a-c)]的值 分析:所求的代数式中含有c-b,可以通过已知的a-b=3与a-c=326来推得 c-b 解:由已知得c-b=3-326 所以 原式=(3-326)[32?326?3?(326)2] =32?(326)3 22 =27-26=1 四、利用因式分解解方程 例9 解方程(x2+4x)2-2(x2+4x)-15=0 解:将原方程左边分解因式,可得 x2+4x+3)(x2+4x-5)=0 (x+1)(x+3)(x-1)(x+5)=0 由此得x+1=0或x+3=0,或x-1=0,或x+5=0 ?原方程的解是x1=-1,x2=-3,x3=1,x4=-5 例10 求方程4x2-4xy-3y2=5的整数解。 解:原方程或化为(2x-3y)(2x+y)=5 因为x、y是整数,故2x-3y和2x+y必是整数。又∵5=531=(-5)3(-1),因此原方程可化为四个方程组: ?2x-3y?1,?2x-3y?5,??2x+y?5;??2x+y?1; ?2x-3y?-1,?2x-3y?-5,??2x+y?-5;??2x+y?-1。 3 解这四个方程组,便可得原方程的四组解为: ??x1?2,?x2?1,?x3?-2,?x4?-1, ????y1?1;?y2?-1;?y3?-1;?y4?1。 说明:因式分解的运用,使这两道方程转化为我们熟悉的一次方程。 五、利用因式分解化简 例11 化简 31(111...1?333...3000...0) 3103n?1分析 111…1= 9333…3000…0=33(111…1000…0) =33(111…1-111…1) 102n?110n?1=33(-) 99 解:∵ 1?(111...1?333...3000...0) 31103n?1102n?110n?1?3??3?) =?(399911?(103n?3?102n?3?10n?1) 391?(10n?1)3 =27=∴ 原式=31?(10n?1)3 27= 1?(10n?1)=333…3 3 六、利用因式分解证明等式(不等式) 例12 已知三角形的三边a、b、c满足等式a?b?c?3abc,证明这个三角形 333是等边三角形 分析 要证明以a、b、c为边的三角形是等边三角形,只要能证明a=b=c即可,题中 给出了关于a、b、c的关系式a?b?c?3abc,利用因式分解将它变形,在利 4 333用非负数的性质即可。 解:已知a3?b3?c3?3abc 即 (a+b+c)(a2?b2?c2-ab-bc-ca)=0 ∵a+b+c≠0 ∴a2?b2?c2-ab-bc-ca=0 ∴(a2?2ab?b2)+(b2?2bc?c2)+(c2?2ac?a2)=0 ∴(a?b)2=(b?c)2=(c?a)2=0 ∴a=b=c ∴这个三角形是等边三角形 例13 设a、b、c为△ABC的三边,求证a2?b2?c2?2bc<0 证明:a2?b2?c2?2bc=a2?(b2?c2?2bc) =a2?(b?c)2 =(a+b+c)(a-b-c) ∵a、b、c为△ABC的三边 ∴a+b+c>0 a-b-c<0 ∴(a+b+c)(a-b-c)<0 ∴a2?b2?c2?2bc<0 七、利用因式分解证明几何问题 例14 已知:a、b为两圆的半径,c为两圆的圆心距,若方程x2-2ax+b2-(b-a)c=0有相等的实数根,求证:两圆相等或外切.证明 对于方程x2-2ax+b2-(b-a)c=0, 有 △=4a2-4b2+4(b-a)c=0, 即 (a-b)(a+b-c)=0, 5
因式分解的应用 - 初中数学竞赛讲义
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