.. . .. . . 微分运算法则
由函数和、差、积、商的求导法则，可推出相应的微分法则.为了便于理解，下面我们用表格来把微分的运算法则与导数的运算法则
下：
函数和、差、积、商的求导法则 函数和、差、积、商的微分法则 复合函数的微分法则就是前面我们学到的微分形式不变性，在此不再详述。
例题：设，求对x3的导数
解答：根据微分形式的不变性
微分的应用
微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我们用函数的微分来近似的代替函
量，这就是微分在近似计算中的应用.
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例题：求
的近似值。
解答：我们发现用计算的方法特别麻烦，为此把转化为求微分的问题
故其近似值为1.025(精确值为1.024695)
三、导数的应用
微分学中值定理
在给出微分学中值定理的数学定义之前，我们先从几何的角度看一个问题，如下：
设有连续函数，a与b是它定义区间的两点(a＜b)，假定此函数在(a,b)处处可导，也就是在(a,b)
的函数图形上处处都由切线，那末我们从图形上容易直到，
差商就是割线AB的斜率，若我们把割线AB作平行于自身的移动，那么至少有一次机
会达到离割线最远的一点P(x=c)处成为曲线的切线，而曲线的斜率为，由于切线与割线是平行的，因此
注：这个结果就称为微分学中值定理，也称为拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理
成立。
如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)可导，那末在(a,b)至少有一点c，使
成立。
S. . . . . ..
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这个定理的特殊情形，即： 若
的情形，称为罗尔定理。描述如下：
，那末在(a,b)至少有一点c，使
在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)可导，且
成立。
注：这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提出来的。 注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍
下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理 柯西中值定理
如果函数，在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)可导，且≠0，那末在(a，b)至少有一
点c，使成立。
例题：证明方程在0与1之间至少有一个实根
证明：不难发现方程左端 函数理
是函数的导数：
，由罗尔定
在[0，1]上连续，在(0,1)可导，且
可知，在0与1之间至少有一点c，使 也就是：方程
，即
在0与1之间至少有一个实根 未定式问题
问题：什么样的式子称作未定式呢？
答案：对于函数,来说，当x→a(或x→∞)时，函数,都趋于零或无穷大
S. . . . . ..
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则极限可能存在，也可能不存在，我们就把式子称为未定式。分别记为型
我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用\商的极限等于极限的商\这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？
下面我们来学习罗彼塔(L'Hospital)法则，它就是这个问题的答案 注：它是根据柯西中值定理推出来的。
罗彼塔(L'Hospital)法则
当x→a(或x→∞)时，函数,都趋于零或无穷大，在点a的某个去心邻域(或当│x│＞N)时，
与都存在，≠0，且存在
则：=
这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的罗彼塔(L'Hospital)法则 注：它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求的极限，可利用此法则求解。
例题：求
解答：容易看出此题利用以前所学的法则是不易求解的，因为它是未定式中的以利用上面所学的法则了。
型求解问题，因此我们就可
S. . . . . ..
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例题：求
解答：此题为未定式中的型求解问题，利用罗彼塔法则来求解
另外，若遇到
、
、
、
、
等型，通常是转化为
型后，在利用法则求解。
例题：求
解答：此题利用以前所学的法则是不好求解的，它为
型，故可先将其转化为
型后在求解，
注：罗彼塔法则只是说明：对未定式来说，当存在，则存在且二者的极限相同；而
并不是不存在时，也不存在，此时只是说明了罗彼塔法则存在的条件破列。 函数单调性的判定法
函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？
我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性.
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高等数学教材(较完整)
