高等数学复习题
一、用数列极限的ε-N定义证明：lim二、求下列极限： (1) lim(1?n??2n?12。
?n??3n?433111????) 3?55?7(2n?1)(2n?1)222x?3x?5
(2) lim(n?n?n) (3) limn??x?02x?2ex?e?x?2(4) lim(1?x) (5) lim
x?0x?03x3xex?2x1?cos(sinx)
(6)lim (7) limx???ex?3xx?0ln(1?x2)(8)
x2?y2limlim2y?0x?0x?y2(x,y)?(0,0)x2?y2 (9) limlim2
x?0y?0x?y2(10)
limx2?y2
x2三、找出函数f(x)?的间断点，并说明其类型。 2x(x?1)cos??ex?1?x?0 在点x = 0处连续，求k。 四、设f(x)??k2sinx?x?0?1五、当x?0时，求无穷小量tanx?sinx关于x的阶 六、求导数或微分： (1) (3)
y?x3sinx (2) y?ln(sin2x?xcosx)
y?xlnx (4) y?(1?1x) 2x(5) 函数z?exy的全微分dz (6) 求函数y?f?x?1的导数
?dydx
t??x?e(1?cost)(7) 给定参数方程:?t??y?e(1?sint)t?(??,??) ,求
dydx。
(8) 求由方程x3?y3?3xy?1所确定的隐函数y(x)在x?0处的微分.
七、导数应用： (1) 求函数(2) 求函数
y?4ex?e?x,x?[?1,1]的最大值和最小值。 f(x,y)?x3?y3?3xy的极值。
(3) 设函数
f(x)?x?2cosx，讨论函数在区间(0,?)内的单调性与极值.
x2?1?2，讨论其单调性，极值，凹凸区间，拐点和渐近线。 (4) 已知函数y?x3八、求积分 (1)
2?(x?2x)dx (2)
?x1?x2dx
(3)
2x (4) esin3xdx sin(2x?1)dx??(5)
?(x?1)dxx2?2x?2 (6)
?ln(x?x2?1)dx
(7) 若
f(x)有连续的二阶导数，求?xf\(x)dx。
2(8)
??2ln4ln28?2xdx (9)
dxe?1x2?1xsin1?x21?x20dx
(10)
?
(11) 设
2?1?x2,x?0，求?f(x?1)dx. f(x)???x20?xe,x?0(12) 计算二重积分
??(xD2y?2)dxdy, 其中D是由直线y?x及y?x2所围成的平面区域。
九、判断下列广义积分敛散性，若收敛，则求其值： (1) (3)
?0??cosxexdx (2)
ln(2?x) (4) ?0xdx11?0x2?3x?2dx ?lnx?1x2dx
3十、设?(x)为可微函数，又F(x)十一、设x1???xcosudu，求F?(x)。
e?(x)?1,x1?2,xk?2?xk?1?xk?k?1,2,3,????，求级数
xn?11235????????????的前n项的和Sn以及级数和。 1?21?32?53?8xn?xn?2十二、判别下列级数是否收敛；如果收敛，试确定是条件收敛，还是绝对收敛 (1)
??(?1)n?1n1n(n?1)? (2)
?(?1)n?1?nn!
nn十三、求幂级数
?112n?1的和函数和收敛域，并计算。 x??2n?1n?02n?1n?0(2n?1)2
1十四、试判断利用
?1?x??3?1?x22?x，计算1的近似值时，误差是否小于0.0001?
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