课时作业17 利用导数证明不等式
1．已知函数f(x)＝aexlnx的图象在x＝1处的切线与直线x＋2ey＝0垂直． (1)求a的值；
(2)证明：xf(x)>1－5ex1.
解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， eexlnx＋?， f′(x)＝a?x??
则由题意知f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率k＝f′(1)＝ae＝2e，所以a＝2. 51
(2)证明：要证明xf(x)>1－5ex－1，即证明2xexlnx>1－5ex－1，x>0，即证明2xlnx＋>x.
ee5
令g(x)＝2xlnx＋，则g′(x)＝2(lnx＋1)．
e11
当0
ee
115
0，?上为减函数，在?，＋∞? 所以g(x)＝2xlnx＋在?e??e?e?1?3
上为增函数，所以g(x)min＝g??e?＝e.
1?x31?1?x1>，所以xf(x)>1?e??e??e?eex－5ex－1.
12．(2020·唐山模拟)已知f(x)＝x2－a2lnx，a>0.
2(1)求函数f(x)的最小值；
f?x?－f?2a?3
(2)当x>2a时，证明：>a.
x－2a2解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， a2?x＋a??x－a?
f′(x)＝x－＝. xx
当x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
1
所以当x＝a时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(a)＝a2－a2lna.
2(2)证明：由(1)知，f(x)在(2a，＋∞)上单调递增，
x
－
3
则所证不等式等价于f(x)－f(2a)－a(x－2a)>0.
23
设g(x)＝f(x)－f(2a)－a(x－2a)，
2
3a23?2x＋a??x－2a?
则当x>2a时，g′(x)＝f′(x)－a＝x－－a＝>0，
2x22x所以g(x)在(2a，＋∞)上单调递增， 当x>2a时，g(x)>g(2a)＝0，
f?x?－f?2a?33
即f(x)－f(2a)－a(x－2a)>0，故>a.
2x－2a23．(2020·湖南永州一模)已知函数f(x)＝(x2－x－1)ex.
(1)若f(x)在区间(a，a＋5)上有最大值，求整数a的所有可能取值； (2)求证：当x>0时，f(x)<－3lnx＋x3＋(2x2－4x)ex＋7. 解：(1)f′(x)＝(x2＋x－2)ex＝(x＋2)(x－1)ex， 当x<－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当－2 当a＝－6，－5，－4时，显然符合题意， 当a＝－3时，f(－2)＝5e－2，f(2)＝e2，f(－2) (2)证明：f(x)<－3lnx＋x3＋(2x2－4x)ex＋7可化为(－x2＋3x－1)ex<－3lnx＋x3＋7， 令g(x)＝(－x2＋3x－1)ex，h(x)＝－3lnx＋x3＋7， 则 g′(x)＝(－x2＋x＋2)ex，h′(x)＝ 3?x3－1? ， x 当0 当0 又8>e2，所以g(x)的最大值小于h(x)的最小值， 故x>0时，恒有g(x) (2)求证：当n∈N*时，1＋＋＋…＋>ln(n＋1)． 23n 1kx－11 解：(1)∵f(x)＝kx－lnx－1，∴f′(x)＝k－＝(x>0，k>0)；当0 xxk1 当x>时，f′(x)>0. k 11 0，?上单调递减，在?，＋∞?上单调递增， ∴f(x)在??k??k?1? ∴f(x)min＝f??k?＝lnk， ∵f(x)有且只有一个零点，∴lnk＝0，∴k＝1. (2)证明：由(1)知x－lnx－1≥0，即x－1≥lnx，当且仅当x＝1时取等号， ∵n∈N*，令 n＋11n＋1 x＝，得>ln， nnn n＋111123111 ∴1＋＋＋…＋>ln＋ln＋…ln＝ln(n＋1)，故1＋＋＋…＋>ln(n＋1)． 23n12n23n 15．(2020·昆明诊断)已知函数f(x)＝2lnx－x＋. x(1)讨论f(x)的单调性； a－ba＋b (2)若a>0，b>0，证明：ab<<. lna－lnb2解：(1)由题意得，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 22 21－x＋2x－1－?x－1? f′(x)＝－1－2＝＝≤0. xxx2x2 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． (2)证明：由题意得a≠b，不妨设a>b>0，则 a－ba－baab a－b a1＋<0. bab a1－ bab ?2ln 由(1)知f(x)是(0，＋∞)上的减函数，又－ a－ba1＋<0，所以ab<. balna－lnb b a>1，所以f(ba) a2?－1?a－ba＋b2?a－b?ab ?ln>. balna－lnb2a＋b＋1 b2?x－1??x－1?2 令g(x)＝lnx－，则g′(x)＝， x＋1x?x＋1?2 当x∈(0，＋∞)时，g′(x)≥0，即g(x)是(0，＋∞)上的增函数． aa 因为>1，所以g()>g(1)＝0， bba 2?－1?a－ba＋bab 所以ln>，从而<. ba2lna－lnb＋1 b a－ba＋b 综上所述，当a>0，b>0时，ab<<. lna－lnb2
2021届高考数学一轮总复习课时作业17利用导数证明不等式含解析苏教版
