课时作业17 利用导数证明不等式
1.已知函数f(x)=aexlnx的图象在x=1处的切线与直线x+2ey=0垂直. (1)求a的值;
(2)证明:xf(x)>1-5ex1.
解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞), eexlnx+?, f′(x)=a?x??
则由题意知f(x)的图象在x=1处的切线的斜率k=f′(1)=ae=2e,所以a=2. 51
(2)证明:要证明xf(x)>1-5ex-1,即证明2xexlnx>1-5ex-1,x>0,即证明2xlnx+>x.
ee5
令g(x)=2xlnx+,则g′(x)=2(lnx+1).
e11
当0
ee
115
0,?上为减函数,在?,+∞? 所以g(x)=2xlnx+在?e??e?e?1?3
上为增函数,所以g(x)min=g??e?=e.
1?x31?1?x1?0=1,因为y=?在(0,+∞)上为减函数,所以所以g(x)≥>1>,所以xf(x)>1?e??e??e?eex-5ex-1.
12.(2020·唐山模拟)已知f(x)=x2-a2lnx,a>0.
2(1)求函数f(x)的最小值;
f?x?-f?2a?3
(2)当x>2a时,证明:>a.
x-2a2解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞), a2?x+a??x-a?
f′(x)=x-=. xx
当x∈(0,a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
1
所以当x=a时,f(x)取得极小值,也是最小值,且f(a)=a2-a2lna.
2(2)证明:由(1)知,f(x)在(2a,+∞)上单调递增,
x
-
3
则所证不等式等价于f(x)-f(2a)-a(x-2a)>0.
23
设g(x)=f(x)-f(2a)-a(x-2a),
2
3a23?2x+a??x-2a?
则当x>2a时,g′(x)=f′(x)-a=x--a=>0,
2x22x所以g(x)在(2a,+∞)上单调递增, 当x>2a时,g(x)>g(2a)=0,
f?x?-f?2a?33
即f(x)-f(2a)-a(x-2a)>0,故>a.
2x-2a23.(2020·湖南永州一模)已知函数f(x)=(x2-x-1)ex.
(1)若f(x)在区间(a,a+5)上有最大值,求整数a的所有可能取值; (2)求证:当x>0时,f(x)<-3lnx+x3+(2x2-4x)ex+7. 解:(1)f′(x)=(x2+x-2)ex=(x+2)(x-1)ex, 当x<-2时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 当-2 当a=-6,-5,-4时,显然符合题意, 当a=-3时,f(-2)=5e-2,f(2)=e2,f(-2) (2)证明:f(x)<-3lnx+x3+(2x2-4x)ex+7可化为(-x2+3x-1)ex<-3lnx+x3+7, 令g(x)=(-x2+3x-1)ex,h(x)=-3lnx+x3+7, 则 g′(x)=(-x2+x+2)ex,h′(x)= 3?x3-1? , x 当0 当0 又8>e2,所以g(x)的最大值小于h(x)的最小值, 故x>0时,恒有g(x) (2)求证:当n∈N*时,1+++…+>ln(n+1). 23n 1kx-11 解:(1)∵f(x)=kx-lnx-1,∴f′(x)=k-=(x>0,k>0);当0 xxk1 当x>时,f′(x)>0. k 11 0,?上单调递减,在?,+∞?上单调递增, ∴f(x)在??k??k?1? ∴f(x)min=f??k?=lnk, ∵f(x)有且只有一个零点,∴lnk=0,∴k=1. (2)证明:由(1)知x-lnx-1≥0,即x-1≥lnx,当且仅当x=1时取等号, ∵n∈N*,令 n+11n+1 x=,得>ln, nnn n+111123111 ∴1+++…+>ln+ln+…ln=ln(n+1),故1+++…+>ln(n+1). 23n12n23n 15.(2020·昆明诊断)已知函数f(x)=2lnx-x+. x(1)讨论f(x)的单调性; a-ba+b (2)若a>0,b>0,证明:ab<<. lna-lnb2解:(1)由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞), 22 21-x+2x-1-?x-1? f′(x)=-1-2==≤0. xxx2x2 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减. (2)证明:由题意得a≠b,不妨设a>b>0,则 a-ba-baab a-b a1+<0. bab a1- bab ?2ln 由(1)知f(x)是(0,+∞)上的减函数,又- a-ba1+<0,所以ab<. balna-lnb b a>1,所以f(ba) a2?-1?a-ba+b2?a-b?ab ?ln>. balna-lnb2a+b+1 b2?x-1??x-1?2 令g(x)=lnx-,则g′(x)=, x+1x?x+1?2 当x∈(0,+∞)时,g′(x)≥0,即g(x)是(0,+∞)上的增函数. aa 因为>1,所以g()>g(1)=0, bba 2?-1?a-ba+bab 所以ln>,从而<. ba2lna-lnb+1 b a-ba+b 综上所述,当a>0,b>0时,ab<<. lna-lnb2
2021届高考数学一轮总复习课时作业17利用导数证明不等式含解析苏教版
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