北师大版数学九年级下册：第三章 圆 知识点及习题

九年级下册第三章 圆

【知识梳理】

一、圆的认识 1. 圆的定义：

描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成

的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙．．．．．O，读作“圆O”

集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径， 圆．．．．．．

心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。 ．．

对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；

②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。

2、与圆相关的概念 ①弦和直径：

弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 ． 直径：经过圆心的弦叫做直径。 ．． ②弧、半圆、优弧、劣弧：

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为．．．

“

优弧：大于半圆的弧叫做优弧。 ．．

”， 读作“圆弧CD”或“弧CD”。

半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。 ．．

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。) ．． ③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。 ．． ④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。 ．．．

⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 ．． ⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. ．．． ⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距. ．．．3、 点与圆的位置关系及其数量特征：

如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则 ①点在圆上 <===> d=r; ②点在圆内 <===> d d>r.

其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。 二. 圆的对称性:

1、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 2、圆是中心对称图形，对称中心为圆心

3、定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。 推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。 三. 圆周角和圆心角的关系:

1.1°的弧的概念: 把顶点在圆心的周角等分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被

等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧.

2. 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.

这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成 ∠AOB= , 这是错误的.

3. 圆周角的定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角. 4. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等； 推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径； 推论3：圆内接四边形的对角互补。 圆周角的三种情况：

A O B C

四. 确定圆的条件:

1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件:

AO B CB O C

A

圆心和半径,圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直平分线上. 2. 经过三点作圆要分两种情况:

(1)经过同一直线上的三点不能作圆.

(2)经过不在同一直线上的三点,能且仅能作一个圆. 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.

3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念:

(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三

角形叫做圆的内接三角形.

(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. (3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等. 五. 直线与圆的位置关系 1. 直线和圆相交、相切相离

设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；

①d 直线L和⊙O相交.——两个公共点

②d=r <===> 直线L和⊙O相切.——惟一公共点，惟一的公共点做切点. ③d>r <===> 直线L和⊙O相离.——没有公共点

rd 外接圆

d=rrd