课下层级训练(二十六) 平面向量的数量积及应用举例
[A级 基础强化训练]
→→→
1．已知AB＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量AB在CD方向上的投影为( ) 32A．－
232C．
2
B．－35
D．35
→→→→
C [因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又AB＝(2,1)，所以向量AB在CD方向→→
AB·CD1532→→→
上的投影为|AB|cos〈AB，CD〉＝＝＝.]
→252|CD|
2．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( ) A．1 C．3
2
2
B．2 D．5
A [由条件可得，(a＋b)＝10，(a－b)＝6，两式相减得4a·b＝4，所以a·b＝1.] 3．已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)，若a＋2b与c垂直，则k＝( ) A．－3 C．1
B．－2 D．－1
A [因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0，所以3k＋3＋23＝0，解得k＝－3.]
4．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )
A．－2 C．1
B．－1 D．2
D [∵a＝(1,2)，b＝(4,2)，∴c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，|a|＝5，|b|＝25，∴a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20. ∵c与a的夹角等于c与b的夹角，
∴
c·ac·b5m＋88m＋20
＝，∴＝，解得m＝2.]
|c|·|a||c|·|b|525
x2y2
→→5．已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，则EF1·EF2
98的最大值、最小值分别为( )
A．9,7 C．9,8
B．8,7 D．17,8
B [由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，设E(x，y)(－
1
→→→→222
3≤x≤3)，则EF1＝(－1－x，－y)，EF2＝(1－x，－y)，所以EF1·EF2＝x－1＋y＝x－1＋882x→→→→
－x＝＋7，所以当x＝0时，EF1·EF2有最小值7，当x＝±3时，EF1·EF2有最大值8.] 99
6．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则m＝__________.
－2 [∵|a＋b|＝|a|＋|b|＋2a·b＝|a|＋|b|，∴a·b＝0. 又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.]
7．(2024·安徽合肥检测)若非零向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥(3a－b)，则a与b夹角的余弦值为__________.
1
[由(a＋b)⊥(3a－b)可得(a＋b)·(3a－b)＝0，又|a|＝1，|b|＝2，则可得a·b＝4
1a·b1，设a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cos θ＝＝.] 2|a|·|b|4
8．已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点P是斜边AB上的中点，则→→→→
CP·CB＋CP·CA＝__________.
4 [由题意可建立如图所示的坐标系．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
→→→→
可得A(2,0)，B(0,2)，P(1,1)，C(0,0)，则CP·CB＋CP·CA＝(1,1)·(0,2)＋(1,1)·(2,0)＝2＋2＝4.]
9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|； (2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．
?1?解 由已知得，a·b＝4×8×?－?＝－16. ?2?
(1)①∵|a＋b|＝a＋2a·b＋b＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a＋b|＝43.
②∵|4a－2b|＝16a－16a·b＋4b＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a－2b|＝163.
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0， ∴ka＋(2k－1)a·b－2b＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
10．已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]． (1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值． 解 (1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，a∥b， 所以－3cos x＝3sin x.
若cos x＝0，则sin x＝0，与sinx＋cosx＝1矛盾， 故cos x≠0.于是tan x＝－
3. 3
2
2
5π
又x∈[0，π]，所以x＝.
6
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－3)
?π?＝3cos x－3sin x＝23cos?x＋?.
6??
因为x∈[0，π]，所以x＋
π?π7π?∈?，?，
6?6?6
3?π?从而－1≤cos?x＋?≤，
6?2?
ππ
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；
66π5π
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－23.
66
[B级 能力提升训练]
11．设a，b为单位向量，且a⊥b，若向量c满足|c－(a＋b)|＝|a－b|，则|c|的最大值是( )
A．22 C．2
B．2 D．1
A [由题意结合a⊥b，可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则由|c－(a＋b)|＝|a－b|，得|(x，y)－(1,1)|＝|(1，－1)|，由此可得(x－1)＋(y－1)＝2，
即c对应的点的轨迹在以(1,1)为圆心的圆上，如图所示．
2
2
∵圆过原点，∴|c|的最大值为圆的直径22.]
3
12．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD→→→
相切的圆上．若AP＝λAB＋μAD，则λ＋μ的最大值为( )
A．3 C．5
B．22 D．2
A [建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．
设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD． ∵CD＝1，BC＝2， ∴BD＝1＋2＝5，
2
2
BC·CD225EC＝＝＝，
BD55
25即圆C的半径为，
5
422
∴P点的轨迹方程为(x－2)＋(y－1)＝.
525
?x＝2＋cos θ，?5
设P(x，y)，则?
25
y＝1＋sin θ??5
0
0
0
0
(θ为参数)，
→→→
而AP＝(x0，y0)，AB＝(0,1)，AD＝(2,0)．
→→→
∵AP＝λAB＋μAD＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， 1525∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y0＝1＋sin θ.
255两式相加，得λ＋μ＝1＋
255
sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(θ＋55
φ)≤3?其中sin φ＝
?
?525?，cos φ＝?， 55?
π
当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.]
2
13．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是__________.
2
4
2π2
[由已知可得Δ＝|a|＋4a·b＝0， 3
122
即4|b|＋4×2|b|cos θ＝0，∴cos θ＝－.
22π
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.]
3
3?→?1→
14．已知向量a＝?－，?，OA＝a－b，OB＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等
?22?腰直角三角形，则△OAB的面积为__________.
→→
1 [由题意得，|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA⊥OB，→→|OA|＝|OB|.
→→22
由OA⊥OB，得(a－b)·(a＋b)＝|a|－|b |＝0，
→→
所以|a|＝|b |＝1，由|OA|＝|OB|，得|a－b |＝|a＋b |， 所以a·b＝0. 所以|a＋b|＝|a|＋| b |＝2， 1→→
所以|OB|＝|OA|＝2，故S△OAB＝×2×2＝1.]
2
→→→→
15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－c)BA·BC＝cCB·CA. (1)求角B的大小；
→→
(2)若|BA－BC|＝6，求△ABC面积的最大值． 解 (1)由题意得(2a－c)cos B＝bcos C．
根据正弦定理得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， 所以2sin Acos B＝sin(C＋B)，
即2sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以cos B＝π
(0，π)，所以B＝. 4
→→→
(2)因为|BA－BC|＝6，所以|CA|＝6，
即b＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a＋c－2ac≥2ac－2ac＝(2－2)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋2)， 132＋1
故△ABC的面积S＝acsin B≤，
22即△ABC的面积的最大值为
32＋3
. 2
2
2
2
2
2
2
，又B∈2
16．已知平面上一定点C(2,0)和直线l∶x＝8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足
5
2024高考数学大一轮复习第四章平面向量课下层级训练26平面向量的数量积及应用举例含解析文新人教A版
