课时跟踪检测（七） 椭圆及其标准方程
层级一 学业水平达标
x2y2
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
2516A．4 C．8
B．5 D．10
解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选D．
x22
2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆
3的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．23 C．43
B．6 D．12
解析：选C 由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2
3，|CA|＋|CF|＝23，便可求得△ABC的周长为43．
3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件 C．充分且必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选B 利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件．
反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．
这是因为：仅当2a>|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．
综上，甲是乙的必要不充分条件．
x2y24．如果方程2＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
aa＋6A．a>3
C．a>3或a<－2
B．a<－2
D．a>3或－6 ?a2－a－6>0，???a<－2或a>3， 2解析：选D 由a>a＋6>0得?所以?所以a>3或－6 ???a＋6>0，?a>－6， －2． 5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝23，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( ) x2y2 A．＋＝1 129 x2y2x2y2 B．＋＝1或＋＝1 129912x2y2 C．＋＝1 912 x2y2x2y2 D．＋＝1或＋＝1 48454548 解析：选B 由已知2c＝|F1F2|＝23，∴c＝3． ∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝43， ∴a＝23．∴b2＝a2－c2＝9． x2y2x2y2 故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1． 129912x2y2 6．椭圆m＋＝1的焦距是2，则m的值是________． 4 解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1． ∴m－4＝1，m＝5． 当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m， ∴c2＝4－m＝1， ∴m＝3． 答案：3或5 7．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________________． x2y2 解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－ ab2,0)． ???c＝2，?c＝2，?从而有解得? ?2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，???a＝4. 又a2＝b2＋c2，所以b2＝12， x2y2 故椭圆C的标准方程为＋＝1． 1612 49??a2＋b2＝1， 法二：依题意，可设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，则?解得b2＝12 ab ??a2－b2＝4， x2 y2 或 b2＝－3(舍去)，从而x2y2 答案：＋＝1 1612 8．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12， a2＝16．所以椭圆 x2y2 C的标准方程为＋＝1． 1612 则椭圆方程为__________． 解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大， 1 ∴×8b＝12，∴b＝3． 2又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25． x2y2 ∴椭圆的标准方程为＋＝1． 259x2y2 答案：＋＝1 259 x2y23??9．设F1，F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点．设椭圆C上一点3，ab2??到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标． ?3?23??解：由点3，在椭圆上，得2＋2＝1， ab2?? x2y2 又2a＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)． 4310．已知椭圆C与椭圆x2＋37y2＝37的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点(1)求椭圆C的标准方程； π (2)若P∈C，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积． 3x2 解：(1)因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(－6,0)，(6,0)． 37x2y2 所以设椭圆C的标准方程为2＋2＝1(a2>36)． aa－36将点去)， x2y2 所以椭圆C的标准方程为＋＝1． 10064(2)因为P为椭圆C上任一点， 所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝20． 由(1)知c＝6， 在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12， 所以由余弦定理得： π |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos ， 3即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|． ?3?2 ?2??57，－6?．?2? ?57，－6?的坐标代入整理得4a4－463a2＋6 300＝0，解得a2＝100或a2＝63(舍 4?2?
课时跟踪检测(七) 椭圆及其标准方程
