如果你想独占真理，真理就要嘲笑你了。——罗曼·罗兰
第十二讲
期末考试
填空题1.
如果?3a?b?是7的倍数，那么下面算式中______一定也是7的倍数。（a、b都是自然数）⑴a?b
⑵a?2b
⑶4a?b
⑷2a?3b
⑸a?3b
【分析】?3a?b?是7的倍数，?6a?2b?也是7的倍数，所以a?2b?7a??6a?2b?也是7的倍数。
4a?b?7a??3a?b?也是7的倍数，2a?3b??7a??3a?b???2?2a?3b也是7的倍数。??
所以只有⑵⑶⑷一定是7的倍数。
2.
1
在一次考试中，甲乙两人考试结果如下：甲答错了全部试题的，乙答错了7道题，甲乙都答
3
1
错的题目占全部试题的，则甲、乙两人都答对的题目最少有______道。
5
11213
【分析】容斥原理。甲答错，乙答对的题占全部试题的－＝。那么甲乙都答对的题目有的全
351515
部试题减去7道乙答错的题目。可见全部试题越少，甲、乙都答对的题目就越少。则至少有
13
15道全部试题，则15×－7＝6道。
15
3.
在1到100中，恰好有6个约数的数有______个。
【分析】6只能表示为?5?1?或?1?1??2?1?，所以恰好有6个约数的数要么能表示成某个质数的5次方，
要么表示为某个质数的平方再乘以另一个质数，100以内符合前者的只有32，符合后者的数枚举如下：
22?322?522?722?1122?1322?1722?1922?23??8种32?232?532?732?1152?252?3
72?2
??4种
??2种??1种
所以符合条件的自然数一共有1?8?4?2?1?16种。
4.
某地收费的标准是：若每月用电不超过50度，则每度收5角；若超过50度，则超出部分按每度8角收费。某月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月乙用了______度电。
【分析】因为33既不是5的倍数又不是8的倍数，所以甲用电超过50度，乙用电不足50度。设甲用电50?x?度时，乙用电?50?y?度时。因为甲比乙多交33角电费，所以有8x?5y?33。?容易看出x?1，y?5，推知甲用电51度，乙用电45度。
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竞赛123班
第十二讲
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5.如果一个质数加上2，8，14，26以后，得到的和都是质数，那么，原来的质数是______。
【分析】因为2，8，24，26除以5，余数依次为2，3，4，1，所以这四个数加上一个比5大的质数，得到的和必有一个能被5整除，不是质数，所以原来的质数不大于5，通过尝试可得到这个质数是5。
6.四组平行线（每组两条，共八条直线）最多能将平面划分成______个部分。
【分析】两组平行线能将平面分割成9个部分，再加一组平行线，每条直线最多能和原来的直线有4个
交点，被分割成5段，所以一组平行线一共是10段，所以平面上的分区增加10快，即分成19块。增加到四组平行线，新增加2?6?1??14段线段，所以最多能将平面分成19?14?33个?部分。
7.将3，5，7，11，13，17，19，23，29这9个数分别填人右图的9个○中，使3条直线上的○中的数之和都相等。请分别求出满足上述条件的最大的和与最小的和的差：______。
【分析】设三个交点○内所填的数为a,b,c，每条边上的和为K，三个顶点上的数在求和时各用了2次，
所以条边上的三数之和相加得3?5?7?11?13?17?19?23?29??a?b?c??127??a?b?c??3K；
由于所得的和必须能被3整除，而127?3?42??1，所以?a?b?c?的和应被3除余2，a?b?c
的最小值是5?7?11?23，最大值是29?23?19?71，所以K的最小值是
?127?23??3?50，最大值是?127?71??3?66。差为16。
8.甲、乙、丙三队要完成A，B两项工程，B工程的工作量是A工程工作量再增加
1
，如果让4
甲、乙、丙三队单独做，完成A工程所需时间分别是20天，24天，30天.现在让甲队做A工程，乙队做B工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做B工程若干天，然后再与甲队合做A工程若干天.问丙队与乙队合做了______天。
1??111??
【分析】三队合做完成二项工程所用的天数?1?1????18天，????
4202430????
?11?1
丙帮乙队做的天数：?1???18???15天。
?424?30
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9.小李小张和小朱三人参加灯谜会，他们分别猜对了一条二条三条灯谜。小赵问他们各猜对了几条。小李说：“我猜对了两条”。小朱说：“我猜对的灯谜最多”。小张说：“我猜对的不是偶数条。”他三人只有一人说的不对。请问，小朱猜对了______条灯谜。
【分析】分别假设没有猜对的人是小李、小张、小朱，可以发现只有小朱没有猜对时，不会有矛盾，所
以，此时小李猜对两条，小朱猜对的不是最多，所以1条。
10.在一次象棋比赛中，每两人之间都要比赛两盘，每盘比赛胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分。现有6名同学统计全部选手的总分，分别是920，921，922，923，924，925分。但只有一个数据是正确的，共有_______名选手参加了这次比赛。
【分析】n个人之间比赛场数为n?n?1?，每一场产生2分，所以比赛的分数一定能写成2n?n?1?，在
920，921，922，923，924，925这几个分数当中，只有924?2?22?21，所以其中正确的分数是924，共有22名选手参加了这次比赛。
解答题1.如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为多少？
ADOBC【分析】三角形ABD的面积为16?2?3?4?7，四边形ABCD的面积为16?2?3?2?9，三角形ACD
535
的面积等于12?2?3?2?5，所以OD:BD?5:9，阴影部分的面积等于7??。
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2.一次足球比赛，有A，B，C，D四队参加，每两队都比赛一场，按规定胜一场得2分，平一场各得1分，负一场得0分。比赛结果，B队得了5分，C队得3分，A队得1分，所有场次共进9个球，B队进球最多，共进4个球，C队共失3个球，D队一个球未进，A队与C队的比分为2：3，则A队与B队的比分是多少？
【分析】3:0，首先由D队一个球未进，可得到D从来没有赢过，A队得1分，所以A队也没有赢过，
所以A和D之间是平局，并且A负于B和C，而C队得3分，所以C对B和D的两场比赛一平一负，而D从来没有赢过，所以C对D是平局，由此可得到对阵图：
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