【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点：反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 18．（2016?苏州）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．
【分析】将点B（2，n）、P（3n﹣4，1）代入反比例函数的解析式可求得m、n的值，从而求得反比例函数的解析式以及点B和点P的坐标，过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′．接下来证明△BDP≌△BDP′，从而得到点P′的坐标，最后将点P′和点B的坐标代入一次函数的解析式即可求得一次函数的表达式． 【解答】解：∵点B（2，n）、P（3n﹣4，1）在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴
．
解得：m=8，n=4．
∴反比例函数的表达式为y=．
∵m=8，n=4， ∴点B（2，4），（8，1）．
过点P作PD⊥BC，垂足为D，并延长交AB与点P′． 在△BDP和△BDP′中， ∴△BDP≌△BDP′． ∴DP′=DP=6． ∴点P′（﹣4，1）． 将点P′（﹣4，1），B（2，4）代入直线的解析式得：解得：
．
，
∴一次函数的表达式为y=x+3．
【点评】本题主要考查的是一次函数和反比例函数的综合应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
19．（2016?贵港）如图，已知一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=（x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上． （1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标； （2）当x+b＜时，请直接写出x的取值范围．
【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数
图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；
（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集． 【解答】解：（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．
∵反比例函数y=（x＜0）的图象过点A（﹣1，2）， ∴k=﹣1×2=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣（x＜0）； ∵一次函数y=x+b的图象过点A（﹣1，2）， ∴2=﹣+b，解得：b=， ∴一次函数解析式为y=x+．
联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，
解得：，或，
∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）． ∵点A′与点A关于y轴对称， ∴点A′的坐标为（1，2），
设直线A′B的解析式为y=mx+n， 则有
，解得：
，
∴直线A′B的解析式为y=令y=
x+
中x=0，则y=
x+，
．
∴点C的坐标为（0，）．
（2）观察函数图象，发现：
当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
∴当x+＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、轴对称中的最短线路问题、利用待定系数法求函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）求出直线A′B的解析式；（2）找出交点坐标．本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．
20．（2016?安徽）如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB． （1）求函数y=kx+b和y=的表达式；
（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）设点M的坐标为（x，2x﹣5），根据MB=MC，得到
，即可解答．
【解答】解：（1）把点A（4，3）代入函数y=得：a=3×4=12， ∴y=OA=
．
=5，
∵OA=OB， ∴OB=5，
∴点B的坐标为（0，﹣5）， 把B（0，﹣5），A（4，3）代入y=kx+b得： 解得：
∴y=2x﹣5．
（2）∵点M在一次函数y=2x﹣5上， ∴设点M的坐标为（x，2x﹣5）， ∵MB=MC， ∴
解得：x=2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式．
21．（2016?菏泽）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y=与直线y=﹣2x+2交于点A（﹣1，a）． （1）求a，m的值；
（2）求该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标． 【分析】（1）将A坐标代入一次函数解析式中即可求得a的值，将A（﹣1，4）坐标代入反比例解析式中即可求得m的值； （2）解方程组
，即可解答．
【解答】解：（1）∵点A的坐标是（﹣1，a），在直线y=﹣2x+2上， ∴a=﹣2×（﹣1）+2=4，
∴点A的坐标是（﹣1，4），代入反比例函数y=， ∴m=﹣4． （2）解方程组
解得：或，
∴该双曲线与直线y=﹣2x+2另一个交点B的坐标为（2，﹣2）．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：反比例函数的图象上点的坐标特征，待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 22．（2016?梅州）如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上．一次函数y=x+b的图象过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B． （1）求k和b的值；
（2）设反比例函数值为y1，一次函数值为y2，求y1＞y2时x的取值范围． 【分析】（1）把A（2，5）分别代入
和y=x+b，即可求出k和b的值；
（2）联立一次函数和反比例函数的解析式，求出交点坐标，进而结合图形求出y1＞y2时x的取值范围．
【解答】解：（1）把A（2，5）分别代入得
，
和y=x+b，
解得k=10，b=3；
（2）由（1）得，直线AB的解析式为y=x+3， 反比例函数的解析式为
．
由，解得：或．
则点B的坐标为（﹣5，﹣2）．
由图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣5或0＜x＜2． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是求出k和b的值，此题难度不大．
23．（2016?大庆）如图，P1、P2是反比例函数y=（k＞0）在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为（4，0）．若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1、P2为直角顶点．
（1）求反比例函数的解析式． （2）①求P2的坐标．
②根据图象直接写出在第一象限内当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y=的函数值．
【分析】（1）先根据点A1的坐标为（4，0），△P1OA1为等腰直角三角形，求得P1的坐标，再代入反比例函数求解；（2）先根据△P2A1A2为等腰直角三角形，将P2的坐标设为（4+a，a），并代入反比例函数求得a的值，得到P2的坐标；再根据P1的横坐标和P2的横坐标，判断x的取值范围． 【解答】解：（1）过点P1作P1B⊥x轴，垂足为B ∵点A1的坐标为（4，0），△P1OA1为等腰直角三角形 ∴OB=2，P1B=OA1=2 ∴P1的坐标为（2，2）
将P1的坐标代入反比例函数y=（k＞0），得k=2×2=4 ∴反比例函数的解析式为
（2）①过点P2作P2C⊥x轴，垂足为C ∵△P2A1A2为等腰直角三角形 ∴P2C=A1C
设P2C=A1C=a，则P2的坐标为（4+a，a） 将P2的坐标代入反比例函数的解析式为a=
，解得a1=
，a2=，
）
，得 （舍去）
∴P2的坐标为（
②在第一象限内，当2＜x＜2+时，一次函数的函数值大于反比例函数的值． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是根据等腰直角三角形的性质求得点P1和P2的坐标．等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．
初中数学反比例函数解答题(含答案)
