∴．
∴AE=AO=b，CE=BO=b，OE=AE﹣AO=b． ∵OE?CE=|﹣4|=4，即b2=4，
解得：b=3，或b=﹣3（舍去）． 故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的判定及性质，解题的关键：（1）由P点坐标表示出Q点坐标；（2）找出关于b的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，借助于相似三角形的性质找出各线段的长度，再根据反比例函数系数k的几何意义得出方程是关键． 12．（2016?成都）如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象都经过点A（2，﹣2）．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积． 【分析】（1）将点A坐标（2，﹣2）分别代入y=kx、y=求得k、m的值即可； （2）由题意得平移后直线解析式，即可知点B坐标，联立方程组求解可得第四象限内的交点C得坐标，可将△ABC的面积转化为△OBC的面积． 【解答】解：（1）根据题意，将点A（2，﹣2）代入y=kx，得：﹣2=2k， 解得：k=﹣1，
∴正比例函数的解析式为：y=﹣x， 将点A（2，﹣2）代入y=，得：﹣2=， 解得：m=﹣4；
∴反比例函数的解析式为：y=﹣；
（2）直线OA：y=﹣x向上平移3个单位后解析式为：y=﹣x+3， 则点B的坐标为（0，3）， 联立两函数解析式
，解得：
或
，
∴第四象限内的交点C的坐标为（4，﹣1）， ∵OA∥BC，
∴S△ABC=S△OBC=×BO×xC=×3×4=6．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，直线与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
13．（2016?威海）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB=5，求点E的坐标．
【分析】（1）把点A的坐标代入y=，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入y=
，得出n的值，得出点B的坐标，再把A、B的坐标代入直线y=kx+b，
求出k、b的值，从而得出一次函数的解析式； （2）设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，先求出点P的坐标（0，7），得出PE=|m﹣7|，根据S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5，求出m的值，从而得出点E的坐标． 【解答】解：（1）把点A（2，6）代入y=，得m=12， 则y=
．
，得n=12，
把点B（n，1）代入y=
则点B的坐标为（12，1）．
由直线y=kx+b过点A（2，6），点B（12，1）得解得
，
，
则所求一次函数的表达式为y=﹣x+7．
（2）如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE， 则点P的坐标为（0，7）． ∴PE=|m﹣7|．
∵S△AEB=S△BEP﹣S△AEP=5， ∴×|m﹣7|×（12﹣2）=5．
∴|m﹣7|=1． ∴m1=6，m2=8．
∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）． 【点评】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，解一元一次方程，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 14．（2016?莆田）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象与直线y=x交于点M，∠AMB=90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B，四边形OAMB的面积为6．
（1）求k的值；
（2）点P在反比例函数y=（x＞0）的图象上，若点P的横坐标为3，∠EPF=90°，其两边分别与x轴的正半轴，直线y=x交于点E，F，问是否存在点E，使得PE=PF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，根据AAS证明△AMC≌△BMD，那么S四边形OCMD=S四边形OAMB=6，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出k=6；
（2）先根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P的坐标为（3，2）．再分两种情况进行讨论：①如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．根据AAS证明△PGE≌△FHP，进而求出E点坐标；②如图3，同理求出E点坐标． 【解答】解：（1）如图1，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D， 则∠MCA=∠MDB=90°，∠AMC=∠BMD，MC=MD， ∴△AMC≌△BMD，
∴S四边形OCMD=S四边形OAMB=6， ∴k=6；
（2）存在点E，使得PE=PF． 由题意，得点P的坐标为（3，2）． ①如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K． ∵∠PGE=∠FHP=90°，∠EPG=∠PFH，PE=PF， ∴△PGE≌△FHP，
∴PG=FH=2，FK=OK=3﹣2=1，GE=HP=2﹣1=1， ∴OE=OG+GE=3+1=4， ∴E（4，0）； ②如图3，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K． ∵∠PGE=∠FHP=90°，∠EPG=∠PFH，PE=PF， ∴△PGE≌△FHP，
∴PG=FH=2，FK=OK=3+2=5，GE=HP=5﹣2=3， ∴OE=OG+GE=3+3=6， ∴E（6，0）． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，有一定难度．利用数形结合与分类讨论是解题的关键．
15．（2016?临夏州）如图，函数y1=﹣x+4的图象与函数y2=（x＞0）的图象交于A（m，1），B（1，n）两点． （1）求k，m，n的值；
（2）利用图象写出当x≥1时，y1和y2的大小关系． 【分析】（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与a的值，确定出A与B坐标，将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）根据B的坐标，分x=1或x=3，1＜x＜3与x＞3三种情况判断出y1和y2的大小关系即可． 【解答】解：（1）把A（m，1）代入一次函数解析式得：1=﹣m+4，即m=3， ∴A（3，1），
把A（3，1）代入反比例解析式得：k=3，
把B（1，n）代入一次函数解析式得：n=﹣1+4=3； （2）∵A（3，1），B（1，3）， ∴由图象得：当1＜x＜3时，y1＞y2；当x＞3时，y1＜y2；当x=1或x=3时，y1=y2． 【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 16．（2016?自贡）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出方程kx+b﹣=0的解； （3）求△AOB的面积；
（4）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．
【分析】（1）把B （2，﹣4）代入反比例函数y=得出m的值，再把A（﹣4，n）代入一次函数的解析式y=kx+b，运用待定系数法分别求其解析式； （2）经过观察可发现所求方程的解应为所给函数的两个交点的横坐标；
（3）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；
（4）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，即使kx+b﹣＜0．
【解答】解：（1）∵B（2，﹣4）在y=上， ∴m=﹣8．
∴反比例函数的解析式为y=﹣． ∵点A（﹣4，n）在y=﹣上，
∴n=2．
∴A（﹣4，2）．
∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4）， ∴
．
解得：．
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2．
（2）∵A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，
∴方程kx+b﹣=0的解是x1=﹣4，x2=2． （3）∵当x=0时，y=﹣2． ∴点C（0，﹣2）． ∴OC=2．
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×4+×2×2=6；
（4）不等式kx+b﹣＜0的解集为﹣4＜x＜0或x＞2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力以及用待定系数法确定一次函数的解析式．
17．（2016?黄冈）如图，已知点A（1，a）是反比例函数y=﹣的图象上一点，直线y=﹣
与反比例函数y=﹣的图象在第四象限的交点为点B．
（1）求直线AB的解析式；
（2）动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段PA与线段PB之差达到最大时，求点P的坐标． 【分析】（1）先把A（1，a）代入反比例函数解析式求出a得到A点坐标，再解方程组
得B点坐标，然后利用待定系数法求AB的解析式；
（2）直线AB交x轴于点Q，如图，利用x轴上点的坐标特征得到Q点坐标，则PA﹣PB≤AB（当P、A、B共线时取等号），于是可判断当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，从而得到P点坐标．
【解答】解：（1）把A（1，a）代入y=﹣得a=﹣3，则A（1，﹣3），
解方程组得或，则B（3，﹣1），
设直线AB的解析式为y=kx+b， 把A（1，﹣3），B（3，﹣1）代入得
，解得
，
所以直线AB的解析式为y=x﹣4； （2）直线AB交x轴于点Q，如图，
当y=0时，x﹣4=0，解得x=4，则Q（4，0）， 因为PA﹣PB≤AB（当P、A、B共线时取等号），
所以当P点运动到Q点时，线段PA与线段PB之差达到最大，此时P点坐标为（4，0）．
初中数学反比例函数解答题（含答案）
