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抽象函数常见题型解法综述
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：
一、定义域问题
例1. 已知函数f(x)的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。
22解：f(x)的定义域是［1，2］，是指1?x?2，所以f(x)中的x满足1?x?4
222从而函数f（x）的定义域是［1，4］
评析：一般地，已知函数f(?(x))的定义域是A，求f（x）的定义域问题，相当于已知f(?(x))中x的取值范围为A，据此求?(x)的值域问题。
例2. 已知函数f(x)的定义域是[?1，2]，求函数f[log1(3?x)]的定义域。
2解：f(x)的定义域是[?1，2]，意思是凡被f作用的对象都在[?1，2]中，
由此可得?1?log1(3?x)?2?()?3?x?()212212?1?1?x?11 4所以函数f[log1(3?x)]的定义域是[1，211] 4评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（x）的定义域是A，求函数f(?(x))的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知?(x)的值域B，且B?A，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。
二、求值问题
例3. 已知定义域为R的函数f（x），同时满足下列条件：①f(2)?1，f(6)?求f（3），f（9）的值。
解：取x?2，y?3，得f(6)?f(2)?f(3)
?1；②f(x?y)?f(x)?f(y)，5因为f(2)?1，f(6)?148，所以f(3)?? 又取x?y?3，得f(9)?f(3)?f(3)?? 55551，f(6)?与评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取x?2，y?3，这样便把已知条件f(2)?1欲求的f（3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。
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三、值域问题
例4. 设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x?y)?f(x)f(y)总成立，且存在x1?x2，使得f(x1)?f(x2)，求函数f(x)的值域。
解：令x?y?0，得f(0)?[f(0)]，即有f(0)?0或f(0)?1。
若f(0)?0，则f(x)?f(x?0)?f(x)f(0)?0，对任意x?R均成立，这与存在实数x1?x2， 使得f(x1)?f(x2)成立矛盾，故f(0)?0，必有f(0)?1。
由于f(x?y)?f(x)f(y)对任意x、y?R均成立，因此，对任意x?R，
2有f(x)?f(xxxxx?)?f()f()?[f()]2?0 22222下面来证明，对任意x?R，f(x)?0
设存在x0?R，使得f(x0)?0，则f(0)?f(x0?x0)?f(x0)f(?x0)?0 这与上面已证的f(0)?0矛盾，因此，对任意x?R，f(x)?0，所以f(x)?0
评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题
1.换元法：即用中间变量的灵活性及变形能力。
表示原自变量x的代数式，从而求出
f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生
x)?2x?1,求f(x). x?1xuu2?u解：设∴f(u)?2?u,则x??1?x?11?u1?u1?u例1：已知
f(∴
f(x)?2?x 1?x2.凑配法：在已知
f(g(x))?h(x)的条件下，把h(x)拼凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求f(x).此解法简洁，
还能进一步复习代换法。
例2：已知
11f(x?)?x3?3xx，求
f(x)
解：∵
1111111?1 f(x?)?(x?)(x2?1?2)?(x?)((x?)2?3)又∵|x?|?|x|?x|x|xxxxx∴
f(x)?x(x2?3)?x3?3x，(|x|≥1)
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。 例3． 已知
f(x)二次实函数，且f(x?1)?f(x?1)?x2+2x+4,求f(x).
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解:设
f(x)=ax2?bx?c，则f(x?1)?f(x?1)?a(x?1)2?b(x?1)?c?a(x?1)2?b(x?1)?c
?2(a?c)?41313?22?a?,b?1,c?∴f(x)?x2?x? =2ax?2bx?2(a?c)?x?2x?4比较系数得?2a?12222?2b?2?4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知解:∵
y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)?lg(x?1),求f(x)
∴f(x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。∵-x>0,∴f(?x)?lg(?x?1)?lg(1?x), f(x)为奇函数，
∵
?lg(1?x),x?0 f(x)为奇函数，∴lg(1?x)?f(?x)??f(x)∴当x<0时f(x)??lg(1?x)∴f(x)???lg(1?x),x?0?f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)+g(x)?例5．一已知解：∵
1， 求f(x),g(x). x?1f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(?x)?f(x),g(?x)??g(x),
1 ………①中的x, x?111∴f(?x)?g(?x)?即f(x)－g(x)??……②
?x?1x?11x显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)?2再代入①求出g(x)?2
x?1x?1不妨用-x代换
f(x)+g(x)=
五、单调性问题
例6. 设f（x）定义于实数集上，当x?0时，f(x)?1，且对于任意实数x、y，有f(x?y)?f(x)?f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。
证明：在f(x?y)?f(x)f(y)中取x?y?0，得f(0)?[f(0)]
若f(0)?0，令x?0，y?0，则f(x)?0，与f(x)?1矛盾，所以f(0)?0，即有f(0)?1
2当x?0时，f(x)?1?0；当x?0时，?x?0，f(?x)?1?0，
而f(x)?f(?x)?f(0)?1，所以f(x)?1?0
f(?x)又当x?0时，f(0)?1?0，所以对任意x?R，恒有f(x)?0
设???x1?x2???，则x2?x1?0，f(x2?x1)?13 / 83
高一数学抽象函数常见题型解法综述
