§6.2 等差数列及其前n项和
考情考向分析 以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查．
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示． 2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋j(k，l，m，j∈N)，则ak＋al＝am＋aj. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N)是公差为md的等差数列． (6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列． 5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
*
*
*
n?a1＋an?
2
或Sn＝na1＋
n?n－1?
d.
2
d?d?Sn＝n2＋?a1－?n.
2
?2?
数列{an}是等差数列?Sn＝An＋Bn(A，B为常数)． 7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
2
概念方法微思考
1．“a，A，b是等差数列”是“A＝提示 充要条件．
2．等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？
提示 不一定．当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数． 3．如何推导等差数列的前n项和公式？ 提示 利用倒序相加法．
a＋b2
”的什么条件？
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( √ )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.( √ )
(5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N，都有2an＋1＝an＋an＋2.( √ ) (6)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．( √ ) 题组二 教材改编
2．[P47习题T5]设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8＝________. 答案 32
??a1＋5d＝2，解析 由已知可得?
??5a1＋10d＝30，
*
26
a＝，??3解得?4
d＝－??3，
1
8×7
∴S8＝8a1＋d＝32.
2
3．[P40习题T5]在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________. 答案 180
解析 由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180. 题组三 易错自纠
1
4．一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范
25
围是________．
?83?答案 ?，? ?7525?
??a10>1，
解析 由题意可得?
?a9≤1，?
1
??25＋9d>1，即?1??25＋8d≤1，
83
所以 7525 5．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大． 答案 8 解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，所以a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a9<0. 故当n＝8时，其前n项和最大． 6．一物体从1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m，以后每秒比前一秒多降落9.80m，那么经过________秒落到地面． 答案 20 解析 设物体经过t秒降落到地面． 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列． 1 所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1960， 2即4.90t＝1960，解得t＝20. 2 题型一 等差数列基本量的运算 1．(2018·全国Ⅰ改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝________. 答案 －10 解析 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4， 3×?3－1??2×?2－1?4×?4－1??×d?＝2a1＋得3?3a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得 222?? d＝－3， 故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10. 2．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝________. 1 答案 － 2 解析 由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1， 1 则a1＝1.又由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－. 2 3．已知等差数列{an}，a2＝2，a3＋a5＋a7＝15，则数列{an}的公差d＝________. 答案 1 解析 ∵a3＋a5＋a7＝3a5＝15， ∴a5＝5，∴a5－a2＝3＝3d， 可得d＝1. 思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个． (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d. 题型二 等差数列的判定与证明 例1在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项． (1)求证：数列?(2)求数列? 1? ?是等差数列，并求{an}的通项公式； ?an－1? ? ?1? 2?的前n项和Sn. ?nan? 解 (1)∵an是1与anan＋1的等差中项， 2an－1 ∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝， an2an－1an－1∴an＋1－1＝－1＝， anan∴∵ 1an1 ＝＝1＋， an＋1－1an－1an－11 ＝1， a1－1 1? ?是首项为1，公差为1的等差数列， a－1n?? ? ∴数列?∴ 1n＋1*＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝(n∈N)． an－1n1 2 (2)由(1)得 nan＝111 ＝－， n?n＋1?nn＋1 1?1n?1??11??11??1 ∴Sn＝?1－?＋?－?＋?－?＋…＋?－＝1－＝. ?n＋1n＋1?2??23??34??nn＋1?思维升华等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2. (3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列． (4)前n项和公式法：得出Sn＝An＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列． 跟踪训练1数列{an}满足an＋1＝，a1＝1. 2an＋1 ?1? (1)证明：数列??是等差数列； ?an? ?1?111n(2)求数列??的前n项和Sn，并证明：＋＋…＋>. S1S2Snn＋1?an? 2 an(1)证明 ∵an＋1＝， 2an＋1∴即 11 anan＋1 2an＋111＝，化简得＝2＋， anan＋1anan＋1ana1 1 －＝2， 1 又＝1， ?1? 故数列??是以1为首项，2为公差的等差数列． ?an? 1 (2)解 由(1)知＝2n－1， an所以Sn＝1 n?1＋2n－1? 2 ＝n. 2 11111111＋＋…＋＝2＋2＋…＋2>＋＋…＋ S1S2Sn12n1×22×3n?n＋1?1??1??11??1＝?1－?＋?－?＋…＋?－? ?2??23??nn＋1?＝1－＝ 题型三 等差数列性质的应用 命题点1 等差数列项的性质 例2(2018·江苏省南京秦淮中学模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝________. 1 n＋1 * ，n∈N. n＋1 n
（江苏专用）2020版高考数学复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和教案
