2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件

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素．

(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出． (3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝?. (4)定义中“x∈A，且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B.而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于A∩B.

并集的运算 [例1] (1)(广东高考)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( ) A．{－1,0,1} C．{－1,0,2}

B．{－1,0,1,2} D．{0,1}

(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2

A．{x|x>－2} C．{x|－2

B．{x|x>－1} D．{x|－1

[解析] (1)M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}． (2)画出数轴如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．

[答案] (1)B (2)A [类题通法]

并集的运算技巧

(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性． (2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．

[活学活用]

若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有( ) A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

解析：选C 从A∪B＝{1,4，x}看它与集合A，B元素之间的关系，可以发现A∪B＝A，从而B是A的子集，则x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或1或0.当x＝±2时，符合题意；当x＝1时，与集合元素的互异性相矛盾(舍去)；当x＝0时，符合题意．因此x＝±2或0.

交集的运算 [例2] (1)(天津高考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝( )

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A．{1} B．{4} C．{1,3} D．{1,4}

(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( ) A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4} [解析] (1)因为集合B中，x∈A， 所以当x＝1时，y＝3－2＝1； 当x＝2时，y＝3×2－2＝4； 当x＝3时，y＝3×3－2＝7； 当x＝4时，y＝3×4－2＝10. 即B＝{1,4,7,10}．

又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D. (2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．

则由交集的定义，A∩B＝{x|0≤x≤2}． [答案] (1)D (2)A

[类题通法]

求交集运算应关注两点

(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合．

(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性． [活学活用]

已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值． 解：∵M∩N＝{3}，∴3∈M， ∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0， 解得a＝－1或4.

但当a＝－1时，与集合中元素的互异性矛盾， 当a＝4时，M＝{1,2,3}，N＝{－1,3,4}，符合题意． ∴a＝4.

交集、并集的性质及应用 [例3] 已知集合A＝{x|－3

[解] ∵A∪B＝A，∴B?A，

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∴分B＝?和B≠?两种情况讨论． ①当B＝?时，k＋1>2k－1，∴k<2. ②当B≠?，则根据题意如图所示：

k＋1≤2k－1，??

根据数轴可得?－3

??2k－1≤4，5

解得2≤k≤.

2

5??

综合①②可得k的取值范围是?k|k≤2?.

?

?

[类题通法]

并集、交集的性质应用技巧

对于涉及集合运算的问题，可利用集合运算的等价性(即若A∪B＝A，则B?A，反之也成立；若A∩B＝B，则B?A，反之也成立)，转化为相关集合之间的关系求解．

[活学活用]

把本例中的条件“A∪B＝A”换为“A∩B＝A”，求k的取值范围．

解：∵A∩B＝A，∴A?B.

又∵A＝{x|－3

??k＋1≤－3，

由数轴(如图所示)可知?解得k∈?，

?2k－1≥4，?

即当A∩B＝A时，k的取值范围为?.

2.含字母的集合运算忽视空集或检验

[典例] (1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是( )

A．1或2 C．2

B．2或4 D．1

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(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，若A∩B＝B，则a的取值范围为________．

[解析] (1)∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}符合题意．

(2)由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B， ∴当B＝?时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；

当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；

当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意．综上所述，a的取值范围是{a|a≥2}．

[答案] (1)C (2){a|a≥2} [易错防范]

1．本例(1)中的M∩N＝{2,3}有两层含义：①2,3是集合M，N的元素；②集合M，N只有这两个公共元素．因此解出字母后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视．

2．在本例(2)中，A∩B＝B?B?A，B可能为空集，极易被忽视． [成功破障]

设集合M＝{x|－2

1

解析：由M∩N＝N，得N?M.故当N＝?，即2t＋1≤2－t，t≤时，M∩N＝N成立；

3当N≠?时，由图得

2－t<2t＋1，??

?2t＋1≤5，??2－t≥－2，

1

解得

3

综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤2}． 答案：{t|t≤2}

[随堂即时演练]

1．已知表示集合M＝{－1,0,1}和P＝{0,1,2,3}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合是( )

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A．{0,1} C．{－1,2,3}

B．{0}

D．{－1,0,1,2,3}

解析：选A 由题中Venn图得，阴影部分表示的集合是M∩P，因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，所以M∩P＝{－1,0,1}∩{0,1,2,3}＝{0,1}．

5??

0＜x＜，x∈Z?，如果M∩N≠?，则a等于( ) 2．已知集合M＝{a,0}，N＝?x?2?

?

?

A．1 C．1或2

B．2 5

D. 2

?

?

5??

0＜x＜，x∈Z?＝{1,2}， 解析：选C ∵N＝?x?2?又∵M＝{a,0}，M∩N≠?， ∴a＝1或a＝2.

3．若集合A＝{x|－1

解析：借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x<5}．

答案：R {x|4≤x<5}

4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________． 解析：因为A∪B＝R，画出数轴(图略)可知表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1的点的左边，所以a≤1.

答案：{a|a≤1}

5．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.

解：由已知A＝{2，－1，x2－x＋1}，

B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C得： 7∈A,7∈B且－1∈B， ∴在集合A中x2－x＋1＝7， 解得x＝－2或3.

当x＝－2时，在集合B中，x＋4＝2， 又∵2∈A，故2∈A∩B＝C， 但2?C，故x＝－2不合题意，舍去．