2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件
往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系．
[活学活用]
用列举法表示集合A＝{(x，y)|y＝x2，－1≤x≤1，且x∈Z}． 解：由－1≤x≤1，且x∈Z，得x＝－1,0,1，
当x＝－1时，y＝1；当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1. ∴A＝{(－1,1)，(0,0)，(1,1)}．
1.集合与方程的综合应用
[典例] 集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，求a的取值范围． [解] 当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0， 1
此时x＝－，符合题意；
2
当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，
当Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意． 故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素． [多维探究]
解答上面例题时，a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2＋2x＋1＝0”有两种情况：一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．
求解集合与方程问题时，要注意相关问题的求解，如： 1．在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 解：A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素． 当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1. 当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，即a>1.
故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a|a＝0或a≥1}． 2．在本例条件下，若A中至少有一个元素，求a的取值范围． 解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素． 由例题可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素； 当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即a<1. ∴A中至少有一个元素时，a的取值范围为{a|a≤1}．
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3．若1∈A，则a为何值？ 解：∵1∈A，
∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.
4．是否存在实数a，使A＝{1}，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 解：∵A＝{1}，∴1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3. 又当a＝－3时，
1
由－3x2＋2x＋1＝0，得x＝－或x＝1，
3
?1?1
即方程ax2＋2x＋1＝0存在两个根－和1，此时A＝?－3，1?，与A＝{1}矛盾．
3??
故不存在实数a，使A＝{1}．
[随堂即时演练]
??x＋y＝1，
1．方程组?22的解集是( )
?x－y＝9?
A．(－5,4) C．{(－5,4)}
B．(5，－4) D．{(5，－4)}
???x＋y＝1，?x＝5，
?解析：选D 解方程组22得?故解集为{(5，－4)}． ?x－y＝9，???y＝－4，
2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( ) A．{y|y＝2} C．{2}
B．{x＝2}
D．{x|x2－4x＋4＝0}
解析：选B 集合{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其他选项所表示的集合都是含有一个元素2.
3．给出下列说法：
①平面直角坐标内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy>0}； ②方程x－2＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}； ③集合{(x，y)|y＝1－x}与集合{x|y＝1－x}是相等的． 其中正确的是________(填序号)．
解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x，y)，故①正确；
???x－2＝0，?x＝2，
?方程x－2＋|y＋2|＝0等价于即?解为有序实数对(2，－2)，解集?y＋2＝0，???y＝－2，
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????x＝2，?
?，故②不正确； 为{(2，－2)}或??x，y???
?y＝－2????
集合{(x，y)|y＝1－x}的代表元素是(x，y)，集合{x|y＝1－x}的代表元素是x，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．
答案：①
4．已知A＝{－1，－2,0,1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，则B＝________. 解析：∵|－1|＝1，|－2|＝2，且集合中的元素具有互异性， ∴B＝{0,1,2}． 答案：{0,1,2}
5．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； (5)方程(x－1)(x－2)＝0的解集； (6)不等式2x－1>5的解集．
解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}． (2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}． (3){x|x是梯形}或{梯形}． (4){x|x＝3n，n∈Z}． (5){1,2}． (6){x|x>3}．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列集合的表示，正确的是( ) A．{2,3}≠{3,2}
B．{(x，y)|x＋y＝1}＝{y|x＋y＝1} C．{x|x＞1}＝{y|y＞1} D．{(1,2)}＝{(2,1)}
解析：选C {2,3}＝{3,2}，故A不正确；{(x，y)|x＋y＝1}中的元素为点(x，y)，{y|x＋y＝1}中的元素为实数y，{(x，y)|x＋y＝1}≠{y|x＋y＝1}，故B不正确；{(1,2)}中的元素为点(1,2)，而{(2,1)}中的元素为点(2,1)，{(1,2)}≠{(2,1)}，故D不正确．
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xyz|xyz|
2．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列
|x||y||z|xyz判断正确的是( )
A．0?M C．－4?M
B．2∈M D．4∈M
解析：选D 当x，y，z都大于零时，代数式的值为4，所以4∈M.
当x，y，z都小于零时，代数式的值为－4，所以－4∈M.当x，y，z有两个为正，一个为负时，或两个为负，一个为正时，代数式的值为0.所以0∈M.综上知选D.
3．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是( ) A．{0,1,2,3,4} C．{0,1,2,3,4,5}
解析：选B ∵x－3<2，x∈N*， ∴x<5，x∈N*， ∴x＝1,2,3,4.
4．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是( )
A．x1·x2∈A C．x1＋x2∈B
B．x2·x3∈B D．x1＋x2＋x3∈A B．{1,2,3,4} D．{1,2,3,4,5}
解析：选D 集合A表示奇数集，B表示偶数集， ∴x1，x2是奇数，x3是偶数，
∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．
5．设P＝{1,2,3,4}，Q＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为( )
A．4 C．19
B．5 D．20
解析：选C 由题意知集合P*Q的元素为点，当a＝1时，集合P*Q的元素为：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素．同样当a＝2,3时，集合P*Q的元素个数都为5个，当a＝4时，集合P*Q中元素为：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)共4个．因此P*Q中元素的个数为19.
二、填空题
b??
6．若集合{1，a＋b，a}＝?0，a，b?，则a－b＝________.
?
?
解析：由题意知a≠0，a＋b＝0，b＝1，则a＝－1， 所以a－b＝－2. 答案：－2
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7．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1?A，则实数a的取值范围是________． 解析：∵1?{x|2x＋a>0}， ∴2×1＋a≤0，即a≤－2. 答案：{a|a≤－2}
8．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________． 解析：由－5∈{x|x2－ax－5＝0}，得(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4，所以{x|x2
－4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.
答案：2 三、解答题
9．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值． 解：①若a＋3＝1，则a＝－2，
此时A＝{1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去． ②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2. 当a＝0时，A＝{3,1,2}，满足题意； 当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去． ③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1， 此时A＝{2,0,1}，满足题意． 综上所述，实数a的值为－1或0. 10．用适当的方法表示下列集合： (1)比5大3的数；
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(3)二次函数y＝x2－10的图象上的所有点组成的集合． 解：(1)比5大3的数显然是8，故可表示为{8}． (2)方程
x2＋y2－4x＋6y＋13＝0
可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，∴?
??x＝2，
?y＝－3，?
∴方程的解集为{(2，－3)}．
(3)“二次函数y＝x2－10的图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
?6???11．(1)已知集合M＝x∈N1＋x∈Z
???
??
?，求M； ??
??6??
(2)已知集合C＝?1＋x∈Z?x∈N?，求C.
?????
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