2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件
理”．
解：根据已知条件“若a∈A，则1
(1)其他所有元素为－1，.
2
1313
(2)假设－2∈A，则∈A，则∈A.其他所有元素为，.
3232(3)A中只能有3个元素，它们分别是a，证明如下：
由已知，若a∈A，则
1
∈A知，1－a
111－1－a
＝
a－1
∈A，a
1
＝a∈A. a－11－a
a－11
，a，且三个数的乘积为－1. 1－a
1
∈A(a≠1)”逐步推导得出其他元素． 1－a
故A中只能有a，
a－11，这3个元素．
a1－a
1
，则a2－a＋1＝0有解，因为Δ＝1－4＝－3<0，1－a
下面证明三个元素的互异性：若a＝所以方程无实数解，故a≠
1
. 1－a
a－1a－11
同理可证，a≠a，≠a.结论得证．
1－a
第二课时 集合的表示
列举法 [提出问题] 观察下列集合：
(1)中国古代四大发明组成的集合； (2)20的所有正因数组成的集合．
问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？
提示：能．(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药，(2)中的元素为1,2,4,5,10,20. 问题2：如何表示上述两个集合？ 提示：用列举法表示． [导入新知]
列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件
[化解疑难]
使用列举法表示集合的四个注意点
(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，an}； (2)元素不重复，满足元素的互异性； (3)元素无顺序，满足元素的无序性；
(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.
描述法 [提出问题] 观察下列集合：
(1)不等式x－2≥3的解集；
(2)函数y＝x2－1的图象上的所有点． 问题1：这两个集合能用列举法表示吗？ 提示：不能．
问题2：如何表示这两个集合？ 提示：利用描述法． [导入新知]
描述法
(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
[化解疑难]
1．描述法表示集合的条件
对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法．
2．描述法的一般形式
它的一般形式为{x∈A|p(x)}，其中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来．
一般来说，集合元素x的取值范围A需写明确，但若从上下文的关系看，x∈A是明确的，则x∈A可以省略，只写元素x.
2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件
用列举法表示集合 [例1] (1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,9}，若x∈A且x?B，则x＝( ) A．1 C．3
(2)用列举法表示下列集合：
①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x2＝x的所有实数解组成的集合； ③直线y＝2x＋1与y轴的交点组成的集合；
??x＋y＝1，
④方程组?的解．
?x－y＝－1?
B．2 D．9
[解] 选B (1)∵x∈A， ∴x＝1,2,3.
又∵x?B，∴x≠1,3,9，故x＝2.
(2)①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集合是{0,2,4,6,8,10}．
②方程x2＝x的实数解是x＝0或x＝1，所以方程x2＝x的所有实数解组成的集合为{0,1}． ③将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故直线y＝2x＋1与y轴的交点组成的集合是{(0,1)}．
???x＋y＝1，?x＝0，
④解方程组?得?
??x－y＝－1，y＝1.??
??x＋y＝1，
∴用列举法表示方程组?的解集为{(0,1)}．
?x－y＝－1?
[类题通法]
用列举法表示集合的步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． [活学活用]
已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4个元素，求集合B.
解：对任意a∈A，有|a|∈B. 因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，
2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件
由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B. 又因为B中只有4个元素， 所以B＝{0,1,2,3}.
用描述法表示集合 [例2] (1)用符号“∈”或“?”填空： ①A＝{x|x2－x＝0}，则1____A，－1____A； ②(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}． (2)用描述法表示下列集合： ①正偶数集；
②被3除余2的正整数的集合；
③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
[解] (1)①将1代入方程，成立；将－1代入方程，不成立．故1∈A，－1?A. ②将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，成立，故填“∈”．
(2)①偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*， 所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．
②设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
③坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
[答案] (1)①∈ ? ②∈ [类题通法]
利用描述法表示集合应关注五点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．
(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等． [活学活用] 下列三个集合： ①A＝{x|y＝x2＋1}； ②B＝{y|y＝x2＋1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．
2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件
(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？
解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．
(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R；集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对．可以认为集合C是坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线y＝x2＋1的图象.
集合表示的应用 [例3] (1)集合A＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为( ) A．{x|x＝2n±1，n∈N} B．{x|x＝(－1)n(2n－1)，n∈N} C．{x|x＝(－1)n(2n＋1)，n∈N} D．{x|x＝(－1)n1(2n＋1)，n∈N}
??6??(2)设集合B＝?x∈N?2＋x∈N?.
??
－
?
??
①试判断元素1,2与集合B的关系； ②用列举法表示集合B.
[解] 选C (1)观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，且第一个为正数，故应选C.
(2)①当x＝1时，当x＝2时，
6
＝2∈N； 2＋1
63＝?N. 2＋22
所以1∈B,2?B. ②∵
6
∈N，x∈N， 2＋x
∴2＋x只能取2,3,6.
∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}． [类题通法]
判断元素与集合间关系的方法
(1)用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系． 例如，集合A＝{1,9,12}，则0?A,9∈A.
(2)用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时就比较复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？…，其次要清楚元素的共同特征是什么，最后
2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件
