2024学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件

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1

当P点在线段DA上，即8

22x，0≤x≤4，??

∴y＝f(x)＝?8，4

??24－2x，8

11.如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动．设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)．

(1)求△ABP的面积与P移动的路程的函数关系式； (2)作出函数的图象，并根据图象求f(x)的最大值． 解：(1)函数的定义域为(0,12)． 1

当0

21

当4

2

1

当8

22x，x∈?0，4]，??

∴函数解析式为f(x)＝?8，x∈?4，8]，

??24－2x，x∈?8，12?.(2)图象如图所示．从图象可以看出f(x)max＝8.

12．设A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，对应关系f：x→y＝px＋q，已知m，n∈N*,1对应的元素是4,2对应的元素是7，试求p，q，m，n的值．

?p＋q＝4，?p＝3，??

解：因为1对应的元素为4,2对应的元素为7，列方程组?解得?故

??2p＋q＝7，q＝1.??

对应关系为f：x→y＝3x＋1.由此判断A中元素3对应的元素要么是n4，要么是 n2＋3n.

若n4＝10，则n∈N*不成立，

所以n2＋3n＝10，解得n＝－5(舍去)或n＝2.

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因为集合A中的元素m对应的元素只能是n4，等于16， 所以3m＋1＝16， 所以m＝5.

故p＝3，q＝1，m＝5，n＝2.

1.3函数的基本性质

1．3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性

[提出问题]

观察下列函数图象：

问题1：从图象上看，自变量x增大时，函数f(x)的值如何变化？ 提示：甲图中，函数f(x)的值随x增大而增大． 乙图中，函数f(x)的值随x增大而减小．

丙图中，在y轴左侧，函数f(x)的值随x的增大而减小； 在y轴右侧，函数f(x)的值随x的增大而增大．

问题2：甲、乙图中，若x1f(x2)．

问题3：丙图中，若x1

[导入新知]

1．定义域为I的函数f(x)的增减性

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2．单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

[化解疑难]

1．x1，x2的三个特征

(1)任意性，即x1，x2是在某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代换； (2)有大小，即确定的两个值x1，x2必须区分大小，一般令x1

2．理解函数的单调性应注意的问题

(1)函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的子集．

(2)函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性．

(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”11

连接．如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，

xx0)∪(0，＋∞)上单调递减．

??1，x是有理数，

(4)并非所有的函数都具有单调性．如函数f(x)＝?就不具有单调性．

?0，x是无理数?

由函数图象说明函数的单调性 [例1] (1)函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( ) A．[－4,4]

B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4]

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(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．

[解] (1)选C 根据函数单调性定义及函数图象知f(x)在[－3,1]上单调递增．

2??－x＋2x＋1， x≥0，

(2)y＝? 2?－x－2x＋1， x<0，?2??－?x－1?＋2， x≥0，即y＝?

?－?x＋1?2＋2， x<0，?

函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．

[类题通法]

由图象确定函数单调性的方法及注意事项

(1)图象从左向右上升，则函数递增；图象从左向右下降，则函数递减．

(2)单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“∪”，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接．

[活学活用]

求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3|x|； (2)f(x)＝|x2＋2x－3|.

??3x，x≥0，解：(1)f(x)＝3|x|＝?

?－3x，x<0.?

图象如图所示．

f(x)的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)． (2)令g(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4.

先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)＝|x2＋2x－3|的图象，如图所示．

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由图象易得函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1].

函数单调性的证明 1[例2] 求证：函数f(x)＝2在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．

x[解] 证明：对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1

有f(x1)－f(x2)＝2－2

x1x2

2－x2x2?x2－x1??x2＋x1?1＝22＝. 2x1x2x21x2

2∵x10，x1＋x2<0，x21x2>0.

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

∴函数f(x)＝2在(－∞，0)上是增函数．

x对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1

?x2－x1??x2＋x1?

. 2

x21x2

2

∵00，x2＋x1>0，x21x2>0.

∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． 1

∴函数f(x)＝2在(0，＋∞)上是减函数．

x[类题通法]

利用定义证明函数单调性的步骤

[活学活用]

求证：函数f(x)＝－x在其定义域上是减函数．