2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件
f(x)，用表格的形式表示出来．
(2)描点．把第(1)步表格中的点(x，f(x))一一在坐标平面上描出来． (3)连线．用平滑的曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来． [注意] 所选的点越多画出的图象越精确，同时所选的点应该是关键处的点． 2．常见函数图象的画法技巧
(1)对于一次函数的图象，描出与坐标轴的交点，连线即得； (2)对于二次函数的图象，描出与坐标轴的交点、顶点，连线即得． [活学活用]
作出下列函数图象： (1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)． 解：(1)∵x∈Z且|x|≤2， ∴x∈{－2，－1,0,1,2}．
所以图象为一直线上的孤立点(如图①)． (2)∵y＝2(x－1)2－5，∴当x＝0时，y＝－3； 当x＝3时，y＝3；当x＝1时，y＝－5. 所画函数图象如图②.
3.函数解析式的求法
[典例] (1)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)的解析式． (2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式． [解] (1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b ＝a2x＋ab＋b. 又f(f(x))＝4x＋8， ∴a2x＋ab＋b＝4x＋8，
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?2???a＝4，
即?解得?8??ab＋b＝8，?b＝
a＝2，3
?
??a＝－2，
或? ?b＝－8.?
8
∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
3(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵f(0)＝1，∴c＝1. 又∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x. 整理得2ax＋(a＋b)＝2x.
由恒等式性质知上式中对应项系数相等，
??2a＝2，∴? ?a＋b＝0，?
解得a＝1，b＝－1， ∴f(x)＝x2－x＋1. [多维探究]
上例为“已知函数的类型，求函数的解析式”的问题．解决此类问题的方法是待定系数法，即引入参数设出函数的解析式，然后利用条件确定所设的参数的具体值，即可求出其结果．
对于函数解析式的求解还有如下几种类型，应注意掌握． 1．已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式
解决此类问题的方法为“直接代入法”．直接代入法主要解决已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式的问题，其解法为用g(x)替换f(x)解析式中的所有自变量x.
例：已知f(x)＝2x2＋1，求f(x＋1)的解析式． 解：因为f(x)＝2x2＋1，
所以f(x＋1)＝2(x＋1)2＋1＝2x＋4x＋3. 2．已知f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式
解决此类问题常见的方法有“整体代入法”和“换元法”．“整体代入法”是把g(x)视为一个整体，将f(g(x))的解析式转化为含g(x)的表达式，然后直接整体代换g(x)，即可求出解析式，此种方法不必求出x，可以减少运算量．“换元法”是通过引入参数t进行式子的变形，从而得到f(x)的表达式，这是解此类型题的通法．
例：求下列函数的解析式：
1＋x?1＋x1(1)已知f??x?＝x2＋x，求f(x)； (2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)．
2
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解：(1)法一：(换元法)
1＋x11令t＝x＝x＋1，得x＝，则t≠1.
t－11＋x?1＋x211?把x＝代入f
?x?＝x2＋x，得 t－1
1
1＋?t－1?2
f(t)＝
??
?1?2?t－1?
＋
1
＝(t－1)2＋1＋(t－1) 1t－1
＝t2－t＋1.
∴所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)． 法二：(配凑法)
1＋x?1＋x＋2x－2x1∵f?＋
xx2?x?＝1＋x?21＋x－x
＝??x?－x 1＋x?21＋x＝??x?－x＋1， ∴f(x)＝x2－x＋1. 又∵
1＋x1＝＋1≠1， xx
2
∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≠1)． (2)法一：(换元法)
令x＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2， ∴f(t)＝(t－1)2＋2?t－1?2＝t2－1. ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：(配凑法)
∵x＋2x＝(x＋1)2－1， ∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1.
又∵x＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
1?3．已知的式子中含有f(x)，f??x?或f(x)，f(－x)形式的函数，求f(x)的解析式
1
解决此类问题的方法为“方程组法”，即用－x替换x，或用x替换x，组成方程组进行求解．
例：(1)已知af(x)＋f(－x)＝bx，其中a≠±1，求f(x)；
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1?
(2)已知f(x)－2f??x?＝3x＋2，求f(x)．
解：(1)在原式中以－x替换x，得af(－x)＋f(x)＝－bx，
??af?x?＋f?－x?＝bx，于是得?
?af?－x?＋f?x?＝－bx.?
bx
消去f(－x)，得f(x)＝.
a－1故f(x)的解析式为f(x)＝
bx. a－1
1?13
(2)在原式中用x替换x，得f?－2f(x)＝?x?x＋2，
?－2f?x?＝3＋2，
?f??x?x
于是有?
?1?＝3x＋2.f?x?－2f??x?
1
1?2
消去f?，得f(x)＝－x－?x?x－2.
[随堂即时演练]
1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图中的s_t函数图象与故事情节相吻合的是( )
解析：选B 由于兔子中间睡了一觉，所以有一段路程不变，而乌龟的路程始终在增加且比兔子早到终点，故选B.
2.函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是( )
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A．R
B．(－∞，1)∪(1，＋∞) C．(－∞，0)∪(0，＋∞) D．(－1,0)
解析：选C 由题图知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
3．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(f(3))的值等于________．
解析：据题图知f(3)＝1，∴f(f(3))＝f(1)＝2. 答案：2
4．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________. 解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则3f(x＋1)＝3[k(x＋1)＋b]＝3kx＋3k＋3b＝6x＋4，
????3k＝6，所以?解得?2
?3k＋3b＝4，??b＝－，
k＝2，
?3
2所以f(x)＝2x－.
32
答案：2x－
3
5．(1)已知函数f(x)＝x2，求f(x－1)； (2)已知函数f(x－1)＝x2，求f(x)． 解：(1)f(x－1)＝(x－1)2＝x2－2x＋1.
(2)法一(配凑法)：因为f(x－1)＝x2＝(x－1)2＋2(x－1)＋1，所以f(x)＝x2＋2x＋1. 法二(换元法)：令t＝x－1，则x＝t＋1，可得f(t)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，即f(x)＝x2＋2x＋1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．设f(x)＝2x＋3，g(x)＝f(x－2)，则g(x)等于( ) A．2x＋1 C．2x－3
B．2x－1 D．2x＋7
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