2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件
解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0； f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0； f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.
(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)＝f(－x)．证明如下： 由题意得f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)， ∴对任意x∈R，总有f(x)＝f(－x)． x2
12．已知函数f(x)＝.
1＋x2
1??1?的值； (1)求f(2)＋f?，f(3)＋f?2??3?1?
(2)求证：f(x)＋f??x?是定值；
1??1?＋…＋f(2 017)＋f?1?的值． (3)求f(2)＋f?＋f(3)＋f?2??3??2 017?x2解：(1)∵f(x)＝，
1＋x2
?1?2?2?1?22?∴f(2)＋f?2?＝＋＝1， 1?21＋22?1＋?2??1?2
?3?1?32?f(3)＋f?3?＝＋＝1. 1?21＋32?1＋?3?
?1?2
?x?x2＋11?x21?(2)证明：f(x)＋f?x?＝＋＝2＋x2＋1＝x2＋1＝1. 11＋x21＋x?21＋??x?
x2
1?
(3)由(2)知f(x)＋f??x?＝1， 1??1?＝1， ∴f(2)＋f?＝1，f(3)＋f?2??3?1??1?＝1. f(4)＋f?＝1，…，f(2 017)＋f?4??2 017?
1??1?＋…＋f(2 017)＋f?1?＝2 016. ∴f(2)＋f?＋f(3)＋f?2??3??2 017?
1．2.2 函数的表示法 第一课时 函数的表示法
函数的表示法 2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件
[提出问题]
(1)如图是我国人口出生率变化曲线：
(2)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离 氰化物浓度 50 0.678 100 0.398 200 0.121 300 0.05 500 0.01 问题1：实例(1)中的图能表示两个变量之间存在函数关系吗？如果能，自变量是什么？ 提示：能．表示出生率是年份的函数，其中年份为自变量．
问题2：实例(2)中的表格能表示两个变量之间存在函数关系吗？如果能，定义域是什么？值域是什么？
提示：能．表示浓度是距离的函数．其中，定义域为{50,100,200,300,500}，值域为{0.678,0.398,0.121,0.05,0.01}．
问题3：实例中的函数关系能否用解析式表示？ 提示：不能．并不是所有的函数都有解析式．
[导入新知]
[化解疑难]
三种表示方法的优、缺点比较 解析法 优 点 一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值 缺 点 不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示 2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件
列表法 图象法 不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系 直观形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的某些性质 只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大
函数的表示方法 [例1] (1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))>f(3)的x的值为________．
x f(x)
[解析] (1)由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又因纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.
(2)由表格可知f(3)＝1， 故f(f(x))>f(3)，即f(f(x))>1. ∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1. [答案] (1)D (2)3或1 [类题通法]
理解函数的表示法应关注三点
(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．
(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．
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(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．
[活学活用]
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
解析：选A 由这一过程中汽车的速度变化可知，速度由小变大→保持匀速→由大变小． 速度由小变大时，路程曲线上升得越来越快，曲线显得陡峭；匀速行驶中路程曲线上升速度不变；速度由大变小时，路程曲线上升得越来越慢，曲线显得平缓．
2．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．
x f(x)
x g(x) (1)f(g(1))＝________；
(2)若g(f(x))＝2，则x＝________. 解析：(1)由表知g(1)＝3， ∴f(g(1))＝f(3)＝1.
(2)由表知g(2)＝2，又因g(f(x))＝2，得f(x)＝2， 再由表知x＝1. 答案：(1)1 (2)1
函数图象的作法及应用 [例2] 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； 2
(2)y＝x，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]． [解] (1)列表：
x y 0 1 1 22 1 3 3 24 2 5 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 1 当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．
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(2)列表：
x y 2 1 3 2 34 1 25 2 5… … 2当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知，其值域为(0,1]．
x
(3)列表：
x y
画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分．由图可得函数的值域是[－1,8]．
－2 0 －1 －1 0 0 1 3 2 8
[类题通法]
1．作函数图象的三个步骤
(1)列表．先找出一些有代表性的自变量x的值，并计算出与这些自变量相对应的函数值
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