2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件
[典例] 下列各组函数： x2－x
①f(x)＝x，g(x)＝x－1； xx
②f(x)＝x，g(x)＝；
x
③f(x)＝x＋1·1－x，g(x)＝1－x2； ④f(x)＝?x＋3?2，g(x)＝x＋3；
⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号)．
[解析] ①不是相等函数，定义域不同，f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R.②不是相等函数，对应法则不同，f(x)＝
1
，g(x)＝x.③是相等函数，定义域、对应法则都相同．④x
不是相等函数，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R.⑤是相等函数，定义域、对应法则都相同．
[答案] ③⑤ [易错防范]
1．若只注意对应关系，忽视定义域，则易误认为①中f(x)与g(x)是同一函数，从而导致解题错误．
2．若认为不同的字母表示的函数是不同的函数，则会误认为⑤中的两个函数是不同的，从而导致解题错误．
3．讨论函数是否为同一函数问题时，要保持定义域优先的原则，判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
[成功破障]
与函数y＝x＋1相等的函数是( ) x2－1
A．y＝
x－1C．y＝x2＋2x＋1
B．y＝t＋1 D．y＝(x＋1)2
解析：选B 选项A，D与原函数的定义域不同，选项C与原函数的对应关系不同，选项B与原函数定义域、对应关系都相同，故选B.
[随堂即时演练]
1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )
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x2－9
A．y＝与y＝x＋3
x－3B．y＝x2－1与y＝x－1 C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
解析：选C 选项A中两函数的定义域不同；选项B，D中两函数的对应关系不同． 2．下列图形(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)中，表示y是x的函数的是( )
解析：选D 根据函数的定义，对于非空数集A中每一个确定的x值，非空数集B中都有唯一确定的y值与之对应，只有图形D符合函数的定义．
3．用区间表示下列数集： (1){x|x≥1}＝________； (2){x|2
答案：(1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞)
4．函数y＝2x＋41－x的值域为________(用区间表示)． 解析：令t＝1－x，则x＝1－t2(t≥0)， y＝2x＋41－x＝2－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋4. 又∵t≥0，∴当t＝1时，ymax＝4. 故原函数的值域是(－∞，4]． 答案：(－∞，4]
1－x
5．若f(x)＝(x≠－1)，求f(0)，f(1)，f(1－a)(a≠2)，f(f(2))的值．
1＋x1－01－1
解：f(0)＝＝1，f(1)＝＝0，
1＋01＋11－?1－a?a
f(1－a)＝＝(a≠2)，
1＋?1－a?2－a1－21＋21－f?2?
f(f(2))＝＝＝2.
1＋f?2?1－2
1＋
1＋2
1－
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[课时达标检测]
一、选择题
1．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( ) A．f(x)＝|x| C．f(x)＝x＋1
解析：选C 验证C，f(x)＝x＋1. ∵f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2x＋2，
∴f(2x)≠2f(x)，即f(x)＝x＋1不满足f(2x)＝2f(x)，故选C. 2．下列各组中的两个函数为相等函数的是( ) A．f(x)＝x＋1·x－1， g(x)＝?x＋1??x－1?
B．f(x)＝(2x－5)2，g(x)＝2x－5 1－x1＋x
C．f(x)＝2，g(x)＝2
x＋1x＋1?x?4?t?2
D．f(x)＝，g(t)＝
x?t?
解析：选D A中，f(x)＝x＋1·x－1的定义域为{x|x≥1}，g(x)＝?x＋1??x－1?的定义域为{x|x≥1或x≤－1}，它们的定义域不相同；B中，f(x)＝(2x－5)2的定义域为1－x5???
?xx≥?，g(x)＝2x－5的定义域为R，定义域不同，不是相等函数．C中，f(x)＝2与2???x＋1t?21＋x?x?4?g(x)＝2的对应关系不同，不相等．D中，f(x)＝x＝x(x>0)与g(x)＝
x＋1?t?＝t(t>0)的定义域与对应关系都相同，它们相等．
3．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )
B．f(x)＝x－|x| D．f(x)＝－x
解析：选C A中的值域不是[0,1]，B中的定义域不是[0,1]，D中的图形不是函数的图象．
4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A．y＝x 1C．y＝x
B．y＝1 x
D．y＝x2＋1
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1解析：选B y＝x的值域为[0，＋∞)，y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝x2＋1
x的值域为[1，＋∞)．
25
－，－4?，5．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为??4?则m的取值范围是( ) A．(0,4] 3?
C.??2，3?
25
－，－4? B.??4?3
，＋∞? D.??2?
解析：选C 当x＝0，x＝3时，y＝－4， 325
当x＝时，y＝－.
243?∴m∈??2，3?，选C. 二、填空题
6．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是________． 1解析：由题意3a－1>a，得a>.
21
，＋∞? 答案：??2?
1
7．设f(x)＝，则f(f(x))＝________.
1－x解析：f(f(x))＝
111－1－x
＝
x－11
＝x.
1－x－11－x
答案：
x－1
(x≠0，且x≠1) x
x－1
的定义域为R，则m的取值范围为________．
mx2＋x＋33
8．若函数f(x)＝
解析：要使原函数有意义，必须mx2＋x＋3≠0，由于函数的定义域是R，故mx2＋x＋3≠0对一切实数x恒成立．
当m＝0时，x＋3≠0，即x≠－3，与f(x)的定义域为R矛盾，所以m＝0不合题意． 1当m≠0时，有Δ＝12－12m<0，解得m>.
121??
m>?. 故综上可知，m的取值范围是?m??12
?
?
1?答案：??12，＋∞?
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三、解答题
9．(1)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求f(x2＋1)的定义域； (2)已知f(x＋1)的定义域为[0,3]，求f(x)的定义域．
解：(1)∵函数f(x2＋1)中的x2＋1相当于函数f(x)中的x，∴0≤x2＋1≤1， ∴－1≤x2≤0，∴x＝0， ∴f(x2＋1)的定义域为{0}． (2)∵f(x＋1)的定义域为[0,3]， ∴0≤x≤3，∴1≤x＋1≤2， ∴f(x)的定义域为[1,2]．
10．试求下列函数的定义域与值域： (1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}； (2)f(x)＝(x－1)2＋1； (3)f(x)＝
5x＋4
； x－1
(4)f(x)＝x－x＋1.
解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．
(2)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}． 5x＋49
(3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}．
x－1x－1(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1， 故函数的定义域是{x|x≥－1}． 设t＝x＋1，则x＝t2－1(t≥0)， 15
t－?2－. 于是f(t)＝t2－1－t＝??2?45
又因为t≥0，故f(t)≥－.
45??
y≥－?. 所以函数的值域是?y?4?
?
?
11．已知函数f(x)＝x2＋1，x∈R.
(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值； (2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．
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