2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件
{x|x>a} {x|x≤a} {x|x 开区间 半开半闭区间 开区间 开区间 (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) (－∞，＋∞) (1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开； (2)区间表示实数集的几条原则：连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆； (3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别； (4)由于区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立． 2．关于无穷大的两点说明 (1)∞是一个符号，而不是一个数； (2)以“－∞”或“＋∞”为区间的一端时，这一端必须用小括号． 函数的判断 [例1] (1)下列图形中，不能确定y是x的函数的是( ) (2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？ ①f：把x对应到3x＋1； ②g：把x对应到|x|＋1； 2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件 1③h：把x对应到； x④r：把x对应到x. [解] (1)选D y是x的函数，必须满足对于任意给定的x值，y都有唯一确定的值与之对应．图象A，B，C所表示的对应关系能构成函数，因为任意给一个变量x，都有唯一确定的y和它对应．但图象D不是，它表示的对应关系中，对于自变量x，大多都有两个函数值和它对应，不符合函数的定义． (2)①是实数集R上的一个函数．它的对应关系f是把x乘3再加1，对于任一x∈R,3x＋1都有唯一确定的值与之对应．如x＝－1，则3x＋1＝－2与之对应． 同理，②也是实数集R上的一个函数． 1 ③不是实数集R上的函数．因为当x＝0时，的值不存在． x④不是实数集R上的函数．因为当x<0时，x的值不存在． [类题通法] 1．判断所给对应是否为函数的方法 (1)首先观察两个数集A，B是否非空； (2)其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性，即不能没有数y对应数x，也不能有多于一个的数y对应x. 2．根据图形判断对应是否为函数的方法步骤 (1)任取一条垂直于x轴的直线l； (2)在定义域内平行移动直线l； (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． [活学活用] 在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是( ) x ①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y＝； 3②A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y2＝3x； ③A＝{x|x∈R}，B＝{y|y∈R}，对应关系f：x→x2＋y2＝25； ④A＝R，B＝R，对应关系f：x→y＝x2； ⑤A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对应关系f：(x，y)→s＝x＋y； ⑥A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，对应关系f：x→y＝0. A．①⑤⑥ C．②③④ B．②④⑤⑥ D．①②③⑤ 解析：选D ①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它 2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件 对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．③在对应关系f下，A中的数(除去5与－5外)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数． 求函数的定义域 [例2] 求下列函数的定义域： ?x＋1?2 (1)y＝－1－x； x＋1(2)y＝ 5－x . |x|－3 ??x＋1≠0， [解] (1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足?解得x≤1且x≠－1， ?1－x≥0，? 即函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}． ??5－x≥0， (2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足?解得x≤5且x≠±3， ?|x|－3≠0，? 即函数的定义域为{x|x≤5，且x≠±3}． [类题通法] 求函数的定义域应关注四点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． (4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． [活学活用] 求下列函数的定义域： (1)y＝(3)y＝ ； 2x2－3x－2 －x (2)y＝x－1·1－x； 2. x＋1 3 ； (4)y＝(x－1)0＋ 1－1－x 2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件 ????－x≥0， 解：(1)?2??1 ??2x－3x－2≠0?x≠2且x≠－， x≤0， ?2 ?1? x≤0，且x≠－?. ∴函数的定义域为?x?2? ? ? ??x－1≥0， (2)??x＝1.∴函数的定义域为{1}． ?1－x≥0???1－1－x≠0，?x≠0，(3)??? ?x≤1.??1－x≥0 ∴函数的定义域为{x|x≤1，且x≠0}． ??2 (4)?x＋1≥0，??x＋1≠0， x－1≠0， 解得x＞－1，且x≠1. ∴函数的定义域为{x|x＞－1，且x≠1}． 求函数值和值域 [例3] 已知f(x)＝ 1(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． 1＋x (1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(2))的值； (3)求f(x)，g(x)的值域． [解] (1)∵f(x)＝∴f(2)＝ 1， 1＋x 11＝. 1＋23 又∵g(x)＝x2＋2， ∴g(2)＝22＋2＝6. (2)f(g(2))＝f(6)＝(3)f(x)＝ 11＝. 1＋67 1 的定义域为{x|x≠－1}， x＋1 ∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． g(x)＝x2＋2的定义域为R，最小值为2， ∴值域是[2，＋∞)． [类题通法] 求函数值域的方法 2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件 求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法： (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法； (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； (4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±cx±d)，通过换元把它们转化为有理 函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． [活学活用] 求下列函数的值域： (1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； 2x＋1(3)y＝； x－3(4)y＝2x－x－1. 解：(1)(观察法)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}． (2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象[如图(1)]，可得函数的值域为[2,6)． (3)(分离常数法)y＝ 2x＋12?x－3?＋777 ＝＝2＋，显然≠0，x－3x－3x－3x－3 所以y≠2.故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 115 t－?2＋，(4)(换元法)设t＝x－1，则t≥0且x＝t2＋1，所以y＝2(t2＋1)－t＝2??4?8由t≥0，15?再结合函数的图象[如图(2)]，可得函数的值域为??8，＋∞?. 3.相等函数的判断
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