2024学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件

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[类题通法]

求补集的方法

求给定集合A的补集通常利用补集的定义去求，从全集U中去掉属于集合A的元素后，由所有剩下的元素组成的集合即为A的补集．

[活学活用]

已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，求集合B. 解：∵A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}， ∴U ＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∵?UB＝{1,4,6}， ∴B＝{2,3,5,7}.

集合的交、并、补的综合运算 [例2] 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)，?U(A∪B)．

[解] 如图所示．

∵A＝{x|－2

∴?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}， ?UB＝{x|x<－3，或2

A∩B＝{x|－2

?U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}． [类题通法]

解决集合交、并、补运算的技巧

(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．

(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．

[活学活用]

已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求?U(A∪B)，?U(A∩B)，(?

UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)．

解：∵A∪B＝{1,2,3,4,5,8}，

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U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， ∴?U(A∪B)＝{6,7,9}． ∵A∩B＝{5,8}，

∴?U(A∩B)＝{1,2,3,4,6,7,9}．

∵?UA＝{1,3,6,7,9}，?UB＝{2,4,6,7,9}， ∴(?UA)∩(?UB)＝{6,7,9}， (?UA)∪(?UB)＝{1,2,3,4,6,7,9}．

说明：作出Venn图，如图所示，由图形也可以直接观察出来结果．

补集的综合应用 [例3] 设全集U＝R，M＝{x|3a

[解] 解：?UP＝{x|x<－2，或x>1}， ∵M

?UP，

?UP，求实数a

∴分M＝?，M≠?两种情况讨论． ①M≠?时，如图可得

???3a<2a＋5，?3a<2a＋5，?或? ?2a＋5≤－2???3a≥1.

71

∴a≤－或≤a<5.

23

②M＝?时，应有3a≥2a＋5，∴a≥5. 综上可知，a的取值范围是[类题通法]

利用补集求参数应注意两点

(1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．

(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． [活学活用]

已知集合A＝{x|x0}．若A∩(?RB)＝?，求实数a的取值范围．

.

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解：∵B＝{x|x<－1，或x>0}， ∴?RB＝{x|－1≤x≤0}，

因而要使A∩(?RB)＝?，结合数轴分析(如图)， 可得a≤－1.

即实数a的取值范围是{a|a≤－1}．

1.补集思想的综合应用

[典例] (12分)已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠?，求实数m的取值范围．

[解题流程]

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[活学活用]

已知集合A＝{x|2m－1

解：先求A∩B＝?，分A＝?和A≠?讨论： ①若A＝?，则2m－1≥3m＋2，解得m≤－3， 此时A∩B＝?.

②若A≠?，要使A∩B＝?，则应有 2m－1<3m＋2，??

?2m－1≥－2，??3m＋2≤5，

m>－3，

??1即?m≥－2，??m≤1.

1

所以－≤m≤1.

2

综上，当A∩B＝?时，m的取值范围是

又因为U＝R，所以当A∩B≠?时，m的取值范围是

所以A∩B≠?时，实数m的取值范围是

.

[随堂即时演练]

1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{2,4,6}，B＝{2,3,5}，则(?UA)∩B＝( ) A．{3,5} C．{1,2,3,5}

B．{4,6} D．{1,2,4,6}

解析：选A ∵U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{2,4,6}， ∴?UA＝{1,3,5}．又∵B＝{2,3,5}， ∴(?UA)∩B＝{3,5}．

2．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是( )

A．A∩B

B．A∪B

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C．B∩(?UA) D．A∩(?UB)

解析：选C 由题图可知，阴影部分所表示的集合为B∩(?UA)．

3．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若?AB＝{5}，则实数m＝________. 解析：∵?AB＝{5}，∴5∈A，且5?B. ∴m＝5. 答案：5

4．已知全集U＝R，M＝{x|－1

∴M∪N＝{x|－1

5．设U＝R，已知集合A＝{x|－5

(1)A∩B＝{x|0≤x＜5}． (2)A∪B＝{x|－5

(3)如图(2)．

?UB＝{x|x<0，或x≥7}， ∴A∪(?UB)＝{x|x<5，或x≥7}． (4)如图(3)．

(3)

?UA＝{x|x≤－5，或x≥5}， B∩(?UA)＝{x|5≤x＜7}．

(5)法一：∵?UB＝{x|x<0，或x≥7}， ?UA＝{x|x≤－5，或x≥5}，画数轴如下图，

∴(?UA)∩(?UB)＝{x|x≤－5，或x≥7}．

法二：(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝{x|x≤－5，或x≥7}．