2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件
1．1集__合
1．1.1 集合的含义与表示 第一课时 集合的含义
集合的概念 [提出问题] 观察下列实例： (1)某公司的所有员工；
(2)平面内到定点O的距离等于定长d的所有的点；
??x＋1≥3，
(3)不等式组?2的整数解；
?x≤9?
(4)方程x2－5x＋6＝0的实数根； (5)某中学所有较胖的同学．
问题1：上述实例中的研究对象各是什么？ 提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学． 问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？ 提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定．
问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？
提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定． [导入新知] 元素与集合的概念 元素 集合
定义 一般地，我们把研究对象统称为元素 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) 表示 通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示 通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示 2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件
[化解疑难]
准确认识集合的含义
(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．
(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.
元素的特性及集合相等 [提出问题]
问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？ 提示：2,3.
问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？ 提示：2,3.
问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？ 提示：相等． [导入新知] 1．集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等． 2．集合元素的特性
集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． [化解疑难]
对集合中元素特性的理解
(1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．
(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．
(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合.
元素与集合的关系及常用数集的记法 [提出问题] 某中学2017年高一年级20个班构成一个集合． 问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合中的元素吗？ 提示：是这个集合的元素．
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问题2：高二(3)班是这个集合中的元素吗？为什么？ 提示：不是．高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素． [导入新知]
1．元素与集合的关系
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a?A. 2．常用的数集及其记法
常用的数集 记法 [化解疑难] 1．对“∈”和“?”的理解
(1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果．
(2)“∈”和“?”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的． 2．常用数集关系网
自然数集 N 正整数集 N*或N＋ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R
集合的基本概念 [例1] (1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点A的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )
A．2 C．4
B．3 D．5
(2)判断下列说法是否正确，并说明理由． ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合； 1361
－?，组成的集合有五个元素； ②由1，，，?24?2?2
③由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合．
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[解] (1)选A “接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．
(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合． 136131
－?＝，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，，这②不正确．由于＝，?24?2?222三个元素组成的．
③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合． [类题通法]
判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点
(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．
(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．
[活学活用]
判断下列每组对象能否构成一个集合． (1)著名的数学家；
(2)某校2017年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；
(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解； (5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．
解：(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x＞20或x＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.
元素与集合的关系 [例2] (1)设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是( ) A．0∈A C．a∈A
B．a?A D．a＝A
(2)下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R；② 3?Q；③0∈N*；④|－4|?N*. A．1
B．2
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C．3 D．4
[解析] (1)由元素与集合的关系可知，a∈A.
(2)①π∈R显然是正确的；② 3是无理数，而Q表示有理数集，∴3?Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0?N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．
[答案] (1)C (2)B [类题通法]
判断元素与集合间关系的方法
判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．
[活学活用] 给出下列说法： ①R中最小的元素是0； ②若a∈Z，则－a?Z；
③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q. 其中正确的个数为( ) A．0 C．2
B．1 D．3
解析：选B 实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确.
集合中元素的特性及应用 [例3] 已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值． [解] 若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，∴a≠1. 当a＝－1时，
集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a＝－1. [类题通法]
关注元素的互异性
根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能取值，但要时刻关注集合中元素的三个特性，尤其是互异性，解题后要注意进行检验．
[活学活用]
已知集合A中含有三个元素1,0，x，若x2∈A，求实数x的值．
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