2．4.2 平向向量数量积的坐标表示、模、夹角
1．平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ ，即两个向量的数量积等于 ．
2．两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b? 3．三个重要公式 (1)向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝ (2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)， uuur则|AB|＝ . (3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ . [例1] 已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求 (1)a·b；(2)|3a－b|；(3)(a＋b)·(2a－b)．
1．已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则b等于( )
3113133A．(2，2) B．(2，2) C．(4，4)
D．(1,0)
2．在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0)，
ruuuruuuAC＝______. B(1,1)，则AB·
3．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求： (1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
[例2] 已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|AD|与点D的坐标．
4．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝________.
[例3] 已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
6．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，则向量a，b的夹角为( ) ππππA.6 B.4 C.3 D.2
7．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．
课后练习： 111.设向量a＝(1，0)，b＝(2，2)，则下列结论中正确的是( ) A．|a|＝|b| C．a－b与b垂直 2B．a·b＝2 D．a∥b 2．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( ) A．－12 C．6 B．－6 D ．12 3．(2011·湖北高考)若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( ) ππA．－4 B.6 π3πC.4 D.4 4．以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠A＝90°，则AB的坐标为? ? A.?2，－5? C.?－2，5?
B.?－2，5?或?2，－5? D.?7，－3?或?3，7?
5．设a＝(－1,1)，b＝(5，－2)，则b在a方向上的投影为________． 解析：设a，b的夹角为θ，∵|a|＝2，a·b＝－7，∴b在a方向上的投影为a·b－772|b|cos θ＝|b|×|a||b|＝＝－2.
2
6．设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝________.
uuuruuur7．在△ABC中，AB＝?2，3?，AC＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值．
8．已知向量a＝(4，3)，b＝(－1，2)． (1)求a与b的夹角θ的余弦值； (2)若向量a－λb与2a＋b垂直，求λ的值．
2.5平面向量应用举例 11、 在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝2AB，求证：AC⊥BC.
2．如图，点O是?ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别在边CD，
高一数学12月
