第2讲 空间点、线、面的位置关系
高考定位 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择、填空题的形式，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( )
解析 法一 对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A项中直线AB与平面MNQ不平行.
图(1) 图(2)
法二 对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.A项中直线AB与平面MNQ不平行. 答案 A
2.(2018·全国Ⅰ卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) 33A.
432C.4
23
33D.2 B.
解析 如图，依题意，平面α与棱BA，BC，BB1所在直线所成角都相等，容易得到平面AB1C符合题意，进而所有平行于平面AB1C的平面均符合题意.
由对称性，知过正方体ABCD－A1B1C1D1中心的平面面积应取最大值，此时截面2
为正六边形EFGHIJ.正六边形EFGHIJ的边长为2，将该正六边形分成6个边23?2?33
??＝长为2的正三角形.故其面积为6×4×
4. ?2?答案 A
3.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
8
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P－ABCD的体积为3，求该四棱锥的侧面积.
(1)证明 ∵∠BAP＝∠CDP＝90°， ∴AB⊥PA，CD⊥PD. ∵AB∥CD，∴AB⊥PD.
又∵PA∩PD＝P，PA，PD?平面PAD，
2
∴AB⊥平面PAD. ∵AB?平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD. (2)解 取AD的中点E， 连接PE.
∵PA＝PD，∴PE⊥AD.
由(1)知，AB⊥平面PAD，PE?平面PAD，故AB⊥PE，又AB∩AD＝A，可得PE⊥平面ABCD.
2
设AB＝x，则由已知可得AD＝2x，PE＝2x， 故四棱锥P－ABCD的体积 11
VP－ABCD＝3AB·AD·PE＝3x3. 138
由题设得3x＝3，故x＝2.
从而PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝22，PB＝PC＝22， 可得四棱锥P－ABCD的侧面积为
11112PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋＝6＋23. 2222BCsin 60°
考 点 整 合
1.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b. 2.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.
热点一 空间点、线、面位置关系的判定
【例1】 (2018·成都诊断)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m?α，n?β.有下列命题： ①若α∥β，则m∥n； ②若α∥β，则m∥β；
③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β； ④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β. 其中真命题的个数是( ) A.0
B.1
C.2
D.3
解析 ①若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；
②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确； ③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；
④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，l与n不一定相交，不能推出α⊥β，不正确. 答案 B
探究提高 1.判断与空间位置关系有关的命题真假的方法
(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.
(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定.
2.两点注意：(1)平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中；(2)当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断. 【训练1】 (1)(2018·石家庄调研)如图，在三棱台ABC－A1B1C1的6个顶点中任取3个点作平面α，设α∩平面ABC＝l，若l∥A1C1，则这3个点可以是( ) A.B，C，A1
B.B1，C1，A
C.A1，B1，C
D.A1，B，C1
(2)(2018·菏泽模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列正确的是( ) A.若m∥α，n∥α，则m∥n C.若m∥α，n∥β，则α∥β
B.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D.若m⊥α，n⊥α，则m∥n
解析 (1)在棱台中，AC∥A1C1，l∥A1C1，则l∥AC或l为直线AC.因此平面α可以过点A1，B，C1，选项D正确.
(2)结合长方体模型，易判定选项A，B，C不正确.由线面垂直的性质，当m⊥α，n⊥α时，有m∥n，D项正确. 答案 (1)D (2)D
热点二 空间平行、垂直关系的证明
【例2】 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD.
证明 (1)∵平面PAD⊥底面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA?平面PAD， ∴PA⊥底面ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， ∴AB∥DE，且AB＝DE. ∴四边形ABED为平行四边形. ∴BE∥AD.
又∵BE?平面PAD，AD?平面PAD， ∴BE∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形. ∴BE⊥CD，AD⊥CD，
2019高考数学高分突破二轮复习练习：专题三 第2讲 空间点、线、面的位置关系 Word版含解析
