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2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）B （3）A （4）C （5）D （6）C （7）B （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）2 （12）2
（10）x?y?1 （11）22 （13）1
（14）42
2215 8三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（Ⅰ） 设等差数列?an?的公差为d，由题意得d?所以an?a1??n?1?d?3n?n?1，2，设等比数列bn?an的公比为q， 由题意得q3?b4?a420?12??8，解得q?2． b1?a14?3a4?a112?3??3 33?．
??所以bn?an??b1?a1?qn?1?2n?1． 从而bn?3n?2n?1?n?1，2，? ?．
2，（Ⅱ）由⑴知bn?3n?2n?1?n?1，1?2n3n?1数列?3n?的前n项和为n?n?1?，数列2的前n项和为1×?2n?1．
1?22??3所以，数列?bn?的前n项和为n?n?1??2n?1．
2（16）（共13分）解：（Ⅰ） f?x?的最小正周期为π x0?π?π?5π?π?（Ⅱ） 因为x???，??，所以2x????，0?．
12?6?6?2?7π．y0?3 6于是当2x?当2x?ππ?0，即x??时，f?x?取得最大值0； 612πππ??，即x??时，f?x?取得最小值?3． 623（17）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱ABC?A1B1C1中，BB1?底面ABC．
所以BB1?AB． 又因为AB?BC．
所以AB?平面B1BCC1． 所以平面ABE?平面B1BCC1． （Ⅱ）取AB中点G，连结EG，FG．
因为E，F分别是A1C1，BC的中点， 1所以FG∥AC，且FG?AC．
2A1EB1C1因为AC∥AC11，且AC?AC11， 所以FG∥EC1，且FG?EC1． 所以四边形FGEC1为平行四边形． 所以C1F∥EG．
又因为EG?平面ABE，C1F?平面ABE， 所以C1F∥平面ABE．
（Ⅲ）因为AA1?AC?2，BC?1，AB?BC，
所以AB?AC2?BC2?3． 所以三棱锥E?ABC的体积
1113． V?S△ABC?AA1???3?1?2?3323ACGBF（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6?2?2?10名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是
1?10?0.9． 100从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9． （Ⅱ）课外阅读时间落在组[4，6)的有17人，频率为0.17，所以
a?频率0.17??0.085． 组距2课外阅读时间落在组[8，10)的有25人，频率为0.25， 所以b?频率0.25??0.125． 组距2（Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．
x2y2（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C的标准方程为??1．
42所以a2?4，b2?2，从而c2?a2?b2?2． 因此a?2，c?2． 故椭圆C的离心率e?c2． ?a2（Ⅱ）设点A，B的坐标分别为?t，2?，?x0，y0?，其中x0≠0．
因为OA?OB， 所以OA?OB?0， 即tx0?2y0?0，解得t??22?2y0?4，所以 又x02y0． x0AB??x0?t???y0?2?
?2y?2??x0?0???y0?2?
x0??24y0?x?y?2?4
x02020222222?4?x0?4?x02?x0???4 22x022x082??2?4?0?x0≤4?． 2x02x08222?4时等号成立，所以AB≥8． ≤4?，且当x0因为?2≥4?0?x02x0故线段AB长度的最小值为22．
（20）（共13分）解：（Ⅰ） 由f?x??2x3?3x得f??x??6x2?3.
令f??x??0，得x??22或x?. 22?2?f??2????2，f?1???1 ???2??因为f??2???10，f??2???2，???2??1?上的最大值为f?所以f?x? 在区间??2，?2???2 . ??（Ⅱ） 设过点P?1，t?的直线与曲线y?f?x?相切于点?x0，y0?，
32?3x0，且切线斜率为k?6x0?3， 则y0?2x02所以切线方程为y?y0?6x0?3???x?x?，
02因此t?y0?6x0?3?1?x0? . 32?6x0?t?3?0. 整理得4x0??设g?x??4x3?6x2?t?3，
则“过点P?1，t?存在3条直线与曲线y?f?x?相切”等价于“g?x?有3个不同零点”. g??x??12x2?12x?12x?x?1?.
g?x?与g??x?的情况如下：
x (??，0) ? 0 0 (0，1) ? 1 0 t?1 (1，??) ? g?(x) g(x) ↗ t?3 ↘ ↗
所以，g(0)?t?3是g(x)的极大值，g(1)?t?1是g(x)的极小值．
1?和(1，当g(0)?t?3≤0，即t≤?3时，此时g(x)在区间???，??)上分别至多有1个零点，所以g(x) 至多有2个零点．
当g(1)?t?1≥0，即t≥?1时，此时g(x)在区间(??，0)和?0，???上分别至多有1个零点，所以g(x) 至多有2个零点．
当g?0??0且g?1??0，即?3?t??1时，因为g??1??t?7?0，g?2??t?11?0，所以g?x? 分别在
1?和?1，2?上恰有1个零点.由于g?x?在区间???，0?和?1，???上单调，所以g?x?分别区间??1，0?，?0，在区间???，0?和?1，???上恰有1个零点.
综上可知，当过点P?1，t?存在3条直线与曲线y?f?x?相切时，t的取值范围是??3，?1? .
（Ⅲ） 过点A??1，2? 存在3条直线与曲线y?f?x?相切；
10? 存在2条直线与曲线y?f?x?相切； 过点B?2，过点C?0，2? 存在1条直线与曲线y?f?x?相切.：
2014年北京高考数学文科试题及标准答案
