专题30 圆锥曲线中的最值问题
【考情分析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展
【备考策略】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；
（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】
x2y21．已知双曲线2?2?1(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲
ab线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,??)
x2y2??1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上2． P是双曲线
916的点，则|PM|－|PN|的最大值为7
3．抛物线y=-x上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是
2
24 32
2
4．已知抛物线y=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y1+y2
的最小值是 32 .
5．已知点M(-2，0)，N(2,0)，动点P满足条件|PM|?|PN|?22.记动点P的轨迹为W. （Ⅰ）求W的方程；
uuuruuur（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求OA?OB的最小值.
解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，
x2y2所求方程为：－＝1 （x?0）
22（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，
uuuruuur此时A（x0，x－2），B（x0，－x－2），OA?OB＝2
2020
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，
x2y2222
代入双曲线方程－＝1中，得：(1－k)x－2kbx－b－2＝0
22依题意可知方程1?有两个不相等的正数根，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则
????4k2b2?4(1?k2)?(?b2?2)?0?2kb?解得|k|?1， x?x??0?1221?k??b2?2?0?x1x2?2k?1?uuuruuur又OA?OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）
2k2＋2422
＝2＋2?2 ＝（1＋k）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b＝2k－1k－1uuuruuur综上可知OA?OB的最小值为2
【典型示例】
求抛物线y??x上的点到直线4x?3y?8?0距离的最小值? 分析一：设抛物线上任一点坐标为P(x0,-2x)，
0222203(?x03)?34|4x0?3x0?8|由点到直线的距离公式得P到直线的距离d(x0)==?，
35524当x0=时，d(x0)取得最大值,
332分析二：设抛物线上点P(x0,-
x)到直线4x+3y-8=0距离最小，
02则过P且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，
4224,∴x0=,∴P(,-), 333924|4??3?（?）?8|439此时d==，. 35故y( x0)=-2 x0=-'分析三：设直线方程为4x+3y+C=0
则当l与抛物线相切时l与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，
2?4?y??x2由?得4x-3x+C=0，∴△=16+12C=0, ∴c=-,此时
3??4x?3y?C?04|?8?（?）|43d=?
53【分类解析】
x2y2??1，A（4，0）例1:已知椭圆，B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）259求
5（2）求|PA|?|PB|的最小值和最大值 |PA|?|PB|的最小值；
4分析：（1）A为椭圆的右焦点。作PQ⊥右准线于点Q， 则由椭圆的第二定义
|PA|4?e?， |PQ|5∴
5|PA|?|PB|?|PQ|?|PB|， 4值为
显然点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小
17。 4（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，
则|PA|?2a?|PC|∴|PA|?|PB|?|PA|?2a?|PC|?10?(|PB|?|PC|)，
根据三角形中两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。 当P到P\位置时，|PB|?|PC|?|BC|，|PA|?|PB|有最大值，最大值为10?|BC|?10?210；当P到P位置时，|PB|?|PC|??|BC|，|PA|?|PB|有最小值，最小值为
'10?|BC|?10?210. （数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合）
y 变式: A 2
点A（3，2）为定点，点F是抛物线y=4x的焦点，点PP 2d 在抛物线y=4x上移动，若|PA|+|PF| 取得最小值，求点P的坐标。 O F x 2
解：抛物线y=4x的准线方程为x=-1，
设P到准线的距离为d，则|PA|+|PF|=|PA|+d。 要使|PA|+|PF|取得最小值，由图3可知过A点
X=1 的直线与准线垂直时，|PA|+|PF|取得最小值，把y=2
2
代入y=4x，得P（1，2）。
例2: 已知椭圆的中心在O,右焦点为F，右准线为L，若在L上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过点F，求椭圆的离心率e的取值范围?
解：如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化，由于线段OM的垂直平分线经过点F，则MF?OF?c,利用平面几何折线段大于或等于直线段（中心到准线之间的距
2a2?e≥离），则有 2c≥，
2c
2? ∴椭圆的离心率e的取值范围椭圆的离心率e的取值范围为?,1???2??
x2y2变式1: 已知双曲线2?2?1,(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，
ab且|PF1|=4|PF2|,求此双曲线的离心率e的最大值? 解：双曲线的离心率e的最大值为
5 3x2y2变式2: 已知椭圆方程为 2?2?1，（0?a?b）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在为椭圆
ab上的任意一点，且|PF1|=4|PF2|,求此椭圆的离心率e的最小值? 解：椭圆的离心率e的最小值为
3 52
x2?y2?1上移动,试求|PQ|的最大值。 例3: 已知P点在圆x+(y-2)=1上移动，Q点在椭圆92
解：故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，
222
只要求|O1Q|的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|= x+(y-4) ①
22
因Q在椭圆上,则x=9(1-y) ②
1??222
将②代入①得|O1Q|= 9(1-y)+(y-4) ??8?y???27
2??1因为Q在椭圆上移动，所以-1?y?1，故当y?时，OQ?33 1max2此时PQmax?33?1
【点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；
2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
2x2变式1: 设P是椭圆2+y2= 1 ( a > 1 ) 短轴的一个端点, Q为椭圆上的一个动点,
a求| PQ | 的最大值.
解法1: 依题意可设 P (0, 1 ), Q (x , y ), 则| PQ | = x2?(y?1)2. 又因为Q在椭圆上, 所以 x2= a2(1?y2) .
|PQ|2 = a2(1?y2) + y2－2y + 1
= (1?a2)y2－2y + 1 + a2
= (1?a2) (y? 因为 | y | ≤ 1, a > 1,
1212 + 1 + . a)?1?a21?a2a2a2?111 若a ≥2, 则≤1, 当y = 时, | PQ | 取最大值;
a2?11?a21?a2 若1< a <2, 则当y = －1时, | PQ | 取最大值2 . 解法2:
设P (0, 1 ), Q (acos?, sin?), 则 |PQ|2 = a2cos2? + (sin??1)2 = (1?a2)sin2?－2sin?+a2+ 1 = (1?a2)(sin??1122－++ 1. a)21?a1?a2 注意到 |sin?| ≤ 1, a > 1. 以下的讨论与解法1相同.
uuuruuur变式2:已知△OFQ的面积为26，OF?FQ?m
（1）设6?m?46，求?OFQ正切值的取值范围；
uuuruuur62?1)c 当 |OQ| （2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），|OF|?c,m?(4取得最小值时，求此双曲线的方程。
解析：（1）设?OFQ =?
uuuruuur?|OF|?|FQ|cos(???)?m46??tan??? uuuruuur?1m??|OF|?|FQ|sin??26?2Q6?m?46????4?tan???1
（2）设所求的双曲线方程为
uuurx2y2??1(?a?0,b?0),Q(x1,y1),?则FQ?(x1?c,y1) a2b2r461uuu∴S?OFQ?|OF|?|y1|?26，∴y1??
c2uuuruuuruuuruuur6?1??c2 又∵OF?FQ?m，∴OF?FQ?(c,0)?(x1?c,y1)?(x1?c)?c?(4uuur6963c222?x1?c,????|OQ|?x1?y1?2??12.
4c8uuur当且仅当c=4时，|OQ|最小，此时Q的坐标是(6,6)或(6,?6)
(完整版)微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)
