动点问题专题训练
1、如图，已知△ABC中，AB?AC?10厘米，BC?8厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运B 动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
解：（1）①∵t?1秒， ∴BP?CQ?3?1?3厘米，
∵AB?10厘米，点D为AB的中点， ∴BD?5厘米． 又∵厘米，
∴PC?8?3?5厘米PC?BC?BP，BC?8， ∴PC?BD． 又∵AB?AC， ∴?B??C，
∴△BPD≌△CQP． ························································································· （4分） ②∵vP?vQ， ∴BP?CQ，
又∵△BPD≌△CQP，?B??C，则BP?PC?4，CQ?BD?5， ∴点P，点Q运动的时间t?∴vQ?CQt?543?154BP3?43A D Q P
C 秒，
厘米/秒． ············································································ （7分）
（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得
154x?3x?2?10，
1
解得x?803秒．
80?3?80厘米．
∴点P共运动了
3∵80?2?28?24，
∴点P、点Q在AB边上相遇， ∴经过
803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇． ················································（12分）
34x?6与坐标轴分别交于A、B2、直线y??两点，动点P、Q同时从O点出发，
同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式； （3）当S?485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四
y B 边形的第四个顶点M的坐标．
解（1）A（8，0）B（0，6） ·················· 1分 （2）?OA?8，OB?6 ?AB?10
?点Q由O到A的时间是?点P的速度是
6?108P x 81?8（秒）
O Q A ?2（单位/秒） ·· 1分
当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ?t，OP?2t
S?t ·························································································································· 1分
2当P在线段BA上运动（或3?t≤8）时，OQ?t，AP?6?10?2t?16?2t, 如图，作PD?OA于点D，由
?S?12OQ?PD??35t?2PDBO?APAB，得PD?48?6t5， ·································· 1分
245t·················································································· 1分
（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）
（3）P?，?··········································································································· 1分
?55?2
?824?24???824??1224??12··························································· 3分 I1?，?，M2??，?，M3?，?? ·5??55??55??5
3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，
B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.
（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？
解：（1）⊙P与x轴相切.
∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），
与y轴交于B（0，－8），
∴OA=4，OB=8.
由题意，OP=－k， ∴PB=PA=8+k.
在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2， ∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径， ∴⊙P与x轴相切.
（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P
在线段OB上时,作PE⊥CD于E.
∵△PCD为正三角形，∴DE= ∴PE=33212CD=
32，PD=3，
.
∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE， ∴△AOB∽△PEB，
33AOABPEPB4452， PB∴?,即=3
∴PB?3152,
3152∴PO?BO?PB?8?∴P(0,∴k?3152?8)， ?8.
，
3152当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－∴k=－315231523152－8)，
－8， －8或k=－3152∴当k=－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三
角形是正三角形.
4（09哈尔滨） 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），
点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H． （1）求直线AC的解析式；
（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．
解：
4
5在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分
5
D A P Q B E C 图16
PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与
t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成
为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由； （4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值． ．．
解：（1）1，；
58（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴AP由△AQF∽△ABC，BC?52?32?4， 得
QF4??12t5?3?t．
．∴QF4565t?45t．
∴S即S(3?t)?252， ．
B ??t?t（3）能．
①当DE∥QB时，如图4．
∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． 此时∠AQP=90°． 由△APQ ∽△ABC，得即
t3?3?t5AQAC?APABE Q D A P C 图4
B ，
． 解得t?98．
Q D A P
E C ②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形． 此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC，得 即
t5?3?t3AQAB?APAC，
． 解得t或t?4514?158图5
B ．
（4）t?52．
Q G ①点P由C向A运动，DE经过点C． 连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．
PC?t，QC2?QC2342222?QG?CG?[(5?t)]?[4?(5?t)]55．
?52D A P C(E) B G 由PC2，得t2?[(5?t)]?[4?(5?t)]55324图6 2，解得t．
Q ②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．
6
A P D C(E) 图7 3445222(6?t)?[(5?t)]?[4?(5?t)]，t?5514】
6如图，在Rt△ABC中，?ACB?90°，?B?60°，
BC?2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为A ?． （1）①当?? 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 ； ②当?? 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 ；
（2）当??90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说A 明理由．
E O ? D l C B C O B （备用图）
解（1）①30，1；②60，1.5； ????????4分 （2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.
∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. ????????6分 在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=60,BC=2,
∴∠A=300.
∴AB=4,AC=23. ∴AO=
12AC=3 . ????????8分
0
0
在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC.
又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形 ????????10分
7如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，AB?42，∠B?45?．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度A D 向终点D运动．设运动的时间为t秒． （1）求BC的长．
N （2）当MN∥AB时，求t的值．
（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形． B C M 7
解：（1）如图①，过A、D分别作AK?BC于K，DH?BC于H，则四边形ADHK是矩形
∴KH?AD?3． ····························································································· 1分 在Rt△ABK中，AK?AB?sin45??42．22?4
BK?AB?cos45??42?22·································································· 2分 ?4 ·
在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC? B
K （图①）
H
C
5?4?3
22∴BC?BK?KH?HC?4?3?3?10························································· 3分
A
D
A
D
N
B
C
G （图②）
M
（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形 ∵MN∥AB ∴MN∥DG ∴BG?AD?3 ∴GC?10?3?7 ························································································· 4分 由题意知，当M、N运动到t秒时，CN?t，CM?10?2t． ∵DG∥MN ∴∠NMC?∠DGC 又∠C?∠C
∴△MNC∽△GDC ∴即
CNCDt5??CMCG ································································································ 5分
10?2t750解得，t? ································································································· 6分
17（3）分三种情况讨论：
①当NC?MC时，如图③，即t?10?2t ∴t? B
103 ········································································································ 7分 A
D
N
B
（图④）
C
A
D N
M
（图③）
C 8
M H E
②当MN?NC时，如图④，过N作NE?MC于E 解法一：
由等腰三角形三线合一性质得EC?在Rt△CEN中，cosc?ECNC?125?tt?35MC?12?10?2t??5?t
又在Rt△DHC中，cosc?∴
5?tt?358CHCD
····································································································· 8分
解得t?25解法二：
∵∠C?∠C，?DHC??NEC?90? ∴△NEC∽△DHC ∴即
NCDCt5??ECHC
5?t3258
∴t? ········································································································ 8分
12NC?12t
③当MN?MC时，如图⑤，过M作MF?CN于F点.FC?解法一：（方法同②中解法一） t32cosC???
MC10?2t5FC1A D
N F
解得t?6017
B
（图⑤）
H M
解法二：
∵∠C?∠C，?MFC??DHC?90? ∴△MFC∽△DHC ∴
FCHC?MCDCC
t10?2t2?即 351∴t?6017
103综上所述，当t?
、t?258或t?6017时，△MNC为等腰三角形 ················· 9分
9
8如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB?4，BC?6，∠B?60?. （1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM?EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP?x. ①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由； ②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.
A E B
图1 A E B
D F
B
A E P N
D F C B
A E P D N F
C
M D F C
图2
D
M 图3
C
（第25题） A
E B
图5（备用）
F C
图4（备用）
10
解（1）如图1，过点E作EG?BC于点G． 1分
∵E为AB的中点，
∴BE?12在Rt△EBG中，∠B?60?，∴∠BEG?30?．··············2分
A E B
D F
AB?2．∴BG?12BE?1，EG?2?1?22 3．G
图1
C
即点E到BC的距离为3． ···········································3分 （2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变． ∵PM?EF，EG?EF，∴PM∥EG． ∵EF∥BC，∴EP?GM，PM?EG?3．
同理MN?AB?4． ······························································································ 4分 如图2，过点P作PH?MN于H，∵MN∥AB， ∴∠NMC?∠B?60?，∠PMH?30?． ∴PH?12PM?32A E P H
B
N
D F C
．32． 32?522∴MH?PM?cos30??G M 图2
则NH?MN?MH?4?．
在Rt△PNH中，PN?NH?PH2??3??5?????????22????22 7．∴△PMN的周长=PM?PN?MN?3?7?4． ············································ 6分
②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角
形．
当PM?PN时，如图3，作PR?MN于R，则MR?NR． 类似①，MR?．
2∴MN?2MR?3． ································································································ 7分
3∵△MNC是等边三角形，∴MC?MN?3．
此时，x?EP?GM?BC?BG?MC?6?1?3?2． ········································· 8分 A E B
P R
G
M
图3
C
B
G
图4
11
D N F
A E P
D F N C
B
A E D F（P） N
M G
图5
M
C
当MP?MN时，如图4，这时MC?MN?MP?此时，x?EP?GM?6?1?3?5?3．
3．
当NP?NM时，如图5，∠NPM?∠PMN?30?． 则∠PMN?120?，又∠MNC?60?， ∴∠PNM?∠MNC?180?．
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．
∴MC?PM?tan30??1． 此时，x?EP?GM?6?1?1?4． 综上所述，当x?2或4或5??·······················10分 3时，△PMN为等腰三角形． ·
?9如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，
同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，
设运动的时间为t秒．
(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
(2)求正方形边长及顶点C的坐标；
(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标； (4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
解：（1）Q（1，0） ····································································································· 1分 点P运动速度每秒钟1个单位长度． ·························································································································· 2分 （2） 过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF＝8，OF ∴AF?10?4?6．
?BE?4．
y 在Rt△AFB中，AB?82?62?10 3分 过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H． ∵?ABC?90?,AB?BC ∴△ABF≌△BCH．
12
AMFONDCPHGxBQE ∴BH?AF?6,CH?BF?8．
∴OG?FH?8?6?14,CG?8?4?12． ∴所求C点的坐标为（14，12）． 4分 （3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N， 则△APM∽△ABF． ∴
APAB?AMAF35?MPBF． ?45tt10?AM6?MP8．
35t,ON?PM?45t ∴AM?t，PM?． ∴PN?OM?10?．
设△OPQ的面积为S（平方单位） ∴S?12?(10?35t)(1?t)?5?4710t?310t2（0≤t≤10） ························································ 5分
说明:未注明自变量的取值范围不扣分．
47310 ∵a??<0 ∴当t??102?(?310)?476时， △OPQ的面积最大． ····························· 6分
此时P的坐标为（（4） 当
t?539415?，
295135310） ． ················································································ 7分
或t时， OP与PQ相等． ························································ 9分
10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E
?是边BC的中点．且EF交正方形外角?DCG的平行线CF于点F，?AEF?90，
求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE?EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
A D
F
A
D
F
F A
D
B E C 图1
G
B
E C 图2
G B 图3
C E G
13
解：（1）正确． （1分）
A M B E
C D
F G
证明：在AB上取一点M，使AM?EC，连接ME． （2分） ?BM?BE．??BME?45°，??AME?135°． ?CF是外角平分线， ??DCF?45°，
??ECF?135°． ??AME??ECF．
??AEB??BAE?90°，?AEB??CEF?90°，
??BAE??CEF．
?△AME≌△BCF（ASA）． ············································································· （5分）
······································································································ （6分） ?AE?EF． ·
（2）正确． ····························································· （7分） 证明：在BA的延长线上取一点N． 使AN?CE，连接NE． ········································ （8分）
?BN?BE．
??N??PCE?45°．
N A D
F ?四边形ABCD是正方形， ?AD∥BE． ??DAE??BEA．
B C E G
??NAE??CEF．
?△ANE≌△ECF（ASA）． ·············································································（10分）
····································································································· （11分） ?AE?EF． ·
11已知一个直角三角形纸片OAB，其中?AOB?90°，OA?2，OB?4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
（Ⅰ）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标； y
B
x O A （Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B?，设OB??x，OC?y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；
B y x O A
（Ⅲ）若折叠后点B落在边OA上的点为B?，且使B?D∥OB，求此时点C的坐标． y
B 14
O A x 解（Ⅰ）如图①，折叠后点B与点A重合， 则△ACD≌△BCD.
设点C的坐标为?0，m??m?0?. 则BC?OB?OC?4?m. 于是AC?BC?4?m.
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC2?OC2?OA2， 即?4?m??m?2，解得m?22232.
?3?点C的坐标为?0，?2?······························································································ 4分 ?. ·?（Ⅱ）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B?, 则△B?CD≌△BCD. 由题设OB??x，OC?y， 则B?C?BC?OB?OC?4?y，
在Rt△B?OC中，由勾股定理，得B?C2?OC2?OB?2.
??4?y??y?x，
222即y??18x?2 ·········································································································· 6分
2由点B?在边OA上，有0≤x≤2，
? 解析式y??18x?2?0≤x≤2?为所求.
2? ?当0≤x≤2时，y随x的增大而减小， ?y的取值范围为
32≤y≤2.················································································ 7分
（Ⅲ）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B??，且B??D∥OB. 则?OCB????CB??D.
??OCB????CBD，有CB??∥BA. 又??CBD??CB??D，?Rt△COB??∽Rt△BOA.
有
OB??OAOB在Rt△B??OC中，
?OC，得OC?2OB??. ············································································ 9分
设OB???x0?x?0?，则OC?2x0. 由（Ⅱ）的结论，得2x0??18x20?2，
?x0?0，?x0??8?45. 解得x0??8?45．15
·············································································10分 85?16. ·?点C的坐标为0，??12问题解决 F
M 如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边A 上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当
CECD?12D
时，求
AMBN的值．
B E
方法指导：
为了求得AM的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2
BN
类比归纳
在图（1）中，若
CECDCECD??131，则
AMBNN
图（1）
C
的值等于 ；若
AMBNCECD?14，则
AMBN的
值等于 ；若
n的式子表示）
n（n为整数），则的值等于 ．（用含
联系拓广
如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设
ABBC?1m?mCE1AM?1?，?，则
CDnBN的值等
于 ．（用含m，n的式子表示）
解：方法一：如图（1-1），连接BM，EM，BE．
F M A D
B
N 图（1-1）
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F A M D E
B
N
图（2）
C
E
C
由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．
∴MN垂直平分BE．∴BM?EM，BN?EN．············································ 1分 ∵四边形ABCD是正方形，∴?A??D??C?90°,AB?BC?CD?DA?2． ∵CECD?12设BN?x，则NE?x，NC?2?x． ，?CE?DE?1． 在Rt△CNE中，NE2?CN2?CE2． ∴x2??2?x??12．解得x?254，即BN?54 ················································ 3分 ． 在Rt△ABM和在Rt△DEM中，
222AM?AB?BM， 222DM?DE?EM，
2222 ······································································· 5分 ?AM?AB?DM?DE． 设AM?y，则DM?2?y，∴y?2??2?y??1．
2222 解得y? ∴AMBN?1415，即AM?14． ················································································ 6分
． ··································································································· 7分
54． ·········································································· 3分
方法二：同方法一，BN? 如图（1－2），过点N做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．
F M G A D
E
B C N
图（1-2）
∵AD∥BC，∴四边形GDCN是平行四边形．
∴NG?CD?BC． 同理，四边形ABNG也是平行四边形．∴AG?BN???EBC??BNM?90°． ∵MN?BE，
??MNG??BNM?90°，??EBC??MNG． ?NG?BC， 在△BCE与△NGM中
54．
??EBC??MNG，? ?BC?NG，∴△BCE≌△NGM，EC?MG． ······························５分
??C??NGM?90°．?∵AM?AG?MG，AM=54?1?14． ······························································ 6分
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∴类比归纳
25AMBN?15·································································································· 7分 ．（或
410）；
917；
?n?1?22n?1············································································10分
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nm?2n?122 ····································································································12分
n2m2?1
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初中数学动点问题例题集 - 图文
