杨浦新王牌
函数综合题汇编
m?1?,x??,5?， 其中m是不等于零的常数， x?4?（1）、（理）写出h?4x?的定义域（2分）；
（文）m?1时，直接写出h?x?的值域（4分）
（2）、（文、理）求h?x?的单调递增区间（理5分，文8分）；
1、设h?x??x?（3）、已知函数f(x)(x?[a,b])，定义：f1(x)?min{f(t)|a?t?x}(x?[a,b])，
其中，min{f(x)|x?D}表示函数f(x)在D上的最小f2(x)?max{f(t)|a?t?x}(x?[a,b])．
值，max{f(x)|x?D}表示函数f(x)在D上的最大值．例如：f(x)?cosx，x?[0,?]，则f1(x)?cosx,x?[0,?] ，f2(x)?1,x?[0,?] ， （理）当m?1时，设M?x??t?M1?x??M2?x??n
恒成立，求t,n的取值范围（11分）；
h?x??h?4x?h?x??h?4x?，不等式?22
2.（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分5分，第(3)
小题满分7分．
已知函数f(x)?log4(4x?1)?(k?1)x（x?R）为偶函数． （1）求常数k的值；
（2）当x取何值时函数f(x)的值最小？并求出f(x)的最小值；
(a?2（3）设g(x)?log4
x4?a)（a?0），试根据实数a的取值，讨论函数f(x)与g(x)3的图像的公共点个数．
113.已知函数f(x)=2+?2，实数a?R且a?0。
aax（1）设mn?0，判断函数f(x)在[m,n]上的单调性，并说明理由；
（2）设0?m?n且a?0时，f(x)的定义域和值域都是[m,n]，求n?m的最大值； （3） 若不等式|a2f(x)|?2x对x?1恒成立，求a的范围；
4.已知函数f(x)?2x?2?xa（常数a?R)． （1）若a??1，且f(x)?4，求x的值；
（2）若a?4，求证函数f(x)在[1,??)上是增函数；
（3）若存在x?[0,1]，使得f(2x)?[f(x)]2成立，求实数a的取值范围． 5．（本题满分16分）已知：函数f(x)=x2 +(a+l)x+lg|a+2|，g(x)=(a+1)x，(a∈R，a≠-2)． (1)若函数f(x)和g(x)在区间[ lg|a +2|，（a+1）2]上都是减函数，求a的取值范围； (2)在(1)的条件下，比较f(l)与
1的大小，写出理由． 6 6．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．
设a?1，函数f(x)的图像与函数y?4?a|x?2|?2?ax?2的图像关于点A(1,2)对称． （1）求函数f(x)的解析式；
（2）若关于x的方程f(x)?m有两个不同的正数解，求实数m的取值范围； （3）设函数g(x)?f(?x)，x?[?2,??)，g(x)满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a无关．试求a的取值范围． 7．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数f(x)?1?2（t是常实数）． x2?t （1）若函数的定义为R，求y?f(x)的值域；
（2）若存在实数t使得y?f(x)是奇函数，证明y?f(x)的图像在g(x)?2x?1?1图
像的下方．
8.定义：如果函数y?f(x)在定义域内给定区间[a，b]上存在x0(a?x0 f(x0)?f(b)?f(a)，则称函数y?f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的 b?a一个均值点．如y?x4是[?11]，上的平均值函数，0就是它的均值点． (1)判断函数f(x)??x2?4x在区间[0，求出它的均9]上是否为平均值函数？若是，值点；若不是，请说明理由； (2)若函数f(x)??x2?mx?1是区间[?11]，上的平均值函数，试确定实数m的取值范围． 9. 设f(x)为定义域为R的函数，对任意x?R，都满足：f(x?1)?f(x?1)， f(1?x)?f(1?x)，且当x?[0,1]时，f(x)?3x?3?x. （1）请指出f(x)在区间[?1,1]上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关 定义证明你关于单调区间的结论； （2）试证明f(x)是周期函数，并求其在区间[2k?1,2k](k?Z)上的解析式． 10. 已知函数f(x)?x?(a?1)x?lg|a?2|(a?R,且a??2). （1）写出一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)，使f(x)=g(x)+h(x)； （2）对（1）中的g(x). 命题P：函数f(x)在区间[(a?1),??)上是增函数；命题Q： 函数g(x)是减函数；如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围； （3）在（2）的条件下，求f(2)的取值范围. 2211. 已知函数f(x)，如果存在给定的实数对（a,b），使得f(a?x)?f(a?x)?b恒成立，则称f(x)为“S-函数”. （1）判断函数f1(x)?x,f2(x)?3x是否是“S-函数”； （2）若f3(x)?tanx是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对(a,b)； （3）若定义域为R的函数f(x)是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和 当x?[0,1]时，f(x)的值域为[1,2]，求当x?[?2012,2012]时函数f(x)(1,4)，的值域. 12．(本题18分)在R+上的递减函数f(x)同时满足：(1)当且仅当x?M 的集合为[0, 2]；(2)f( R+ 时，函数值f(x) 1)=1；(3)对M中的任意x1、x2都有f(x1?x2)= f(x1)+ f(x2)；(4)y=f(x)在M2上的反函数为y=f–1(x)． (1)求证： 11?M，但?M； 481． 2(2)求证：f–1(x1)? f–1(x2)= f–1(x1+x2)； (3)解不等式：f–1(x2–x)? f–1(x–1)≤
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