第1节 空间几何体的结构、三视图和直观图
考试要求 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.
知 识 梳 理
1.简单多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多边形； (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形； (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形. 2.旋转体的形成
几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 3.三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线. (2)三视图的画法
①基本要求：长对正，高平齐，宽相等.
②在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线. 4.直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 旋转轴 任一边所在的直线 任一直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 [常用结论与易错提醒] 1.常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆.
(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形. (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形. (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.
2.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点. 3.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.
4.对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )
(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.( )
(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.( )
解析 (1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱. (2)反例：如图所示图形不是棱锥.
(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，把x，y轴画成相交成45°或135°，平行于x轴的线还平行于x轴，平行于y轴的线还平行于y轴，所以∠A也可能为135°.
(4)球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角形， 其俯视图为圆心和圆，正方体的三视图不一定相同. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A.圆柱
B.圆锥
C.四面体 D.三棱柱
解析 由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形. 答案 A
3.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )
解析 先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图.由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧视图为图②.
答案 B
4.(2018·上海卷)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设
AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的
一边，则这样的阳马的个数是( )
A.4 C.12
B.8 D.16
解析 符合题目条件的面有四个，每一个都有4个顶点，所以选择D. 答案 D
5.正△AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是________.
解析 画出坐标系x′O′y′，作出△OAB的直观图O′A′B′(如图).D′为O′A′的中点.11223262
易知D′B′＝DB(D为OA的中点)，∴S△O′A′B′＝×S△OAB＝×a＝a.
2224416
答案
62
a 16
6.(2020·北京平谷区质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为________个.
解析 由三视图知几何体为一四棱锥，其直观图为如图中的P－ABCD；由图得该棱锥的四个侧面均为直角三角形，故该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为4个.
答案 4
考点一 空间几何体的结构特征 【例1】 (1)给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是( ) A.0 C.2
(2)以下命题：
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为( ) A.0 C.2
B.1 D.3 B.1 D.3
解析 (1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.
(2)由圆台的定义可知①错误，②正确.对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确. 答案 (1)A (2)B
规律方法 (1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可.
(2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.
(3)既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.
【训练1】 下列结论正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第1节空间几何体的结构三视图和直观图含解析
