逆用求导公式构造新函数，确定构造出新函数的性质
常见的构造函数方法有如下几种： (1)利用和、差函数求导法则构造函数
①对于不等式f?(x)＋g?(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)； ②对于不等式f?(x)－g?(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)； 特别地，对于不等式f?(x)>k(或 ①对于不等式f?(x)g(x)＋f(x)g?(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)； f?x? ②对于不等式f?(x)g(x)－f(x)g?(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(g(x)≠0)． g?x?(3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数 ①对于不等式xf?(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)； f?x? ②对于不等式xf?(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝(x≠0)； x③对于不等式xf?(x)＋nf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xnf(x)； f?x? ④对于不等式xf?(x)－nf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝n(x≠0)； x⑤对于不等式f?(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝exf(x)； f?x? ⑥对于不等式f?(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝x； e⑦对于不等式f?(x)＋kf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝ekxf(x)； f?x? ⑧对于不等式f?(x)－kf(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝kx； e⑨对于不等式f(x)＋f?(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝sin xf(x)； f?x? ⑩对于不等式f(x)－f?(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝(sin x≠0)； sin x?对于不等式f?(x)－f(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝cos xf(x)； f?x? ?对于不等式f?(x)＋f(x)tan x>0(或<0)，构造函数F(x)＝(cos x≠0)． cos x1．已知定义域为R的奇函数y?f?x?的导函数为y?f'?x?，当x?0时，f'?x???1?b??2f??2?，c??ln??2??1?f?ln?，则a，b，c的大小关系是（ ） ?2?f?x?x若a??0， 1?1?f??，2?2?A．a?b?c B．b?c?a C．c?a?b D．a?c?b 解：构造 F?x??xf?x?，且F?x?为偶函数，F??x??xf??x??f?x?，由 1 f??x??f?x?x?0?xf??x??f?x?x?0?F??x?x?0，?x?0，F??x??0，函数F?x?在?0,???单 调递增，a?F??1??1?a?c?b ，，c?Fb?F?2?F2??????ln??F?ln2?，?2??2?2．已知f'?x?是函数f?x??x?R且x?0?的导函数，当x?0时 ，xf'?x??f?x??0成立，记 a?f?20.2?20.2,b?f?0.22?0.22,c?f?log25?，则（ ） log25xf??x??f?x?x2A．a?b?c B．b?a?c C．c?a?b D．c?b?a 构造F?x??f?x?x,F??x???0,?F?x?单调递减，a?F?20.2?，b?F?0.22?， c?F?log25?，c?a?b，选C 3.定义在上 R上的可导函数 f(x)，满足 f(?x)?f(x)?x2，当 x?0时，f?(x)?x，则不等式 1?f(1?x)?x的解集为_________ 212解：构造g(x)?f(x)?x，g(x)?g(?x)?0，由g(x)为奇函数，当x?0时，g?(x)?f?(x)?x?0，g(x)211212为减函数，，f(x)??f(1?x)?x，可得f(x)?x?f(1?x)?(1?x)，即g(x)?g(1?x)? 2221x?1?x，即x? 2优解：根据经验判断，所解的不等式一定是g(x)?g(1?x)，这样就不需要复杂的变形结合g(x)的单调性快速得出答案。这样就是出题人的意图，如果变不成g(x)?g(1?x)的形式，说明题是错了，所以大胆用这种方法。 f(x)? lnxlnx2lnx24.设1?x?2，则，()，2的大小关系是（ ） xxxlnx2lnxlnx2lnxlnx2lnx2)??2 B．?()?2 A．(xxxxxxlnx2lnx2lnxlnx2lnx2lnx)?2?)?C．( D．2?( xxxxxx解：构造F?x??lnx1?lnx,F??x??， xx22lnxln2lne1?lnx?lnx当1?x?e时，F??x??0，0?， ????1，所以???x2eexx??lnxlnx2xlnx?2lnx?x?2?lnxlnx2lnxlnx2?2???0()??2，选A xxx2x2xxx， 2 5.(2024百校联盟) f(x)?f?(x)?x?1，且f(0)?1，f(x)?ax?1有且仅有一个整数解则正数a的取值范围是 1111121?a??2 B.?2?a??3 e22e22e33e11211C.1?2?a?2?2 D.??a?2?2 eee2ex解：构造F(x)?e(f(x)?x)，则F?(x)?0，设F(x)?c， 11?f(x)?x?x，f(x)?ax?1等价于x?x?ax?1 ee?1?(a?1)?1?1111?e由x?(a?1)x?1，结合函数的图像可得? 解之得?a??22ee22e??2(a?1)?1??e2A. 类型七 构造新函数，判断原函数的单调性 6.已知函数f(x)定义域为(0,??)的，且满足xf′(x)＋f(x)＝ ，选A lnx1，f(e)?，则下列结论正确的是 ( xe )． A．f(x)有极大值，无极小值 B．f(x)有极小值，无极大值 C．f(x)既有极大值又有极小值 D．f(x)既无极大值也无极小值 lnxF(x)F?(x)x?F(x)lnx?F(x)，f(x)?，f?(x)? ?xxx2x211?lnx令t(x)?lnx?F(x)，t?(x)??F?(x)? xx当x?e时，t?(x)?0，单调递减当0?x?e时，t?(x)?0，单调递减t(x)max?lne?F(e)?0， 1F(e)?e??1. ∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D. elnx12F(x)优解： 的原函数是F(x)?lnx?c，F(x)?xf(x)，f(x)? x2x1111111F(e)2?c1c为待定的系数，由f(e)?可得?? c??，F(x)?ln2x??， e22e2eeee1111lnx f(x)?(ln2x??)，?f?(x)?x2e2x解析：令F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)＝ 7.（周考4）已知定义在R上的函数f(x)和g(x)分别满足f?(x)?g?(x)?2g(x)?0，则下列不等式恒成立的是（ ） A．g(2016)?f(2)?g(2024) B．f(2)?g(2016)?g(2024) C．g(2016)?f(2)?g(2024) D．f(2)?g(2016)?g(2024) 10．C ,令 ，则 ， f?(1)2x?2e?x2?2f(0)x，2， 令，则 ，则 ，解得,，则 函数 3 ，,令， 在上单调递减，
逆用求导数公式解题
