LMS自适应线性预测实验报告
一、实验要求
首先由二阶AR模型产生自适应滤波器的输入信号x(n)，公式如下：
u(n)?a1u(n?1)?a2u(n?2)?v(n)
其中v(n)为方差为?v2的零均值高斯白噪声，模型参数a1与a2满足a12?4a2。二阶AR模型图如下：
v(n) ? ? x(n) a2 a1 z?1 z?1
二阶AR模型框图
得到自适应滤波器的输入信号x(n)后，通过二阶线性预测滤波器进行自适应线性预测，其框图如下：
x(n) z?1 w1 z?1 w2+ ? 自适应算法 y(n) — ? e(n)
自适应线性滤波器
采用LMS算法进行自适应线性预测，设第n次预测的权值向量W(n)?[w1(n),w2(n)]，第n次预测的输入数据向量X(n)?[x(n?1),x(n?2)]，x(n)的预测值y(n)经滤波过程产生，其公式如下：
1
HHy(n)?WH(n?1)X(n)
误差信号计算公式如下：
e(n)?x(n)?y(n)
权值更迭公式如下：
W(n)?W(n?1)?2?e(n)X(n)
其中?为迭代因子。
实验要求如下：
2?1，迭代因子?、数据长度N自定，给出 （1）令a1??0.195,a2?0.95,?v2?0.0965,?xLMS自适应预测的仿真结果，结果用权值w1(n),w2(n)变化曲线以及误差平方e2(n)变化曲线表示，观察其收敛情况，分别进行单次预测及100次预测取平均值两次实验。
（2）条件与（1）相同，改变迭代因子?的值，分别进行单次预测及800次预测取平均值两次实验，观察其收敛情况。
（3）条件与（1）相同，但改变特征根扩散度?max/?min，
?max/?min?(1?a1?a2)/(1?a1?a2)，可通过改变a1,a2的值实现，分别进行单次预测及100次预测取平均值两次实验，观察其收敛情况。
二、理论分析
LMS算法的收敛是统计意义下的收敛问题，分别讨论其均值收敛及最小均方误差收敛。
1. 均值收敛
由权值更迭公式可进行如下推导：
W(n)?W(n?1)?2?e(n)X(n) ?W(n?1)?2?X(n)[d*(n)?XH(n)W(n?1)] ?[I?2?X(n)XH(n)]W(n?1)?2?X(n)d*(n)
E[W(n)]?{I?2?E[X(n)XH(n)]}E[W(n?1)]?2?E[X(n)d*(n)]
?[I?2?Rxx]E[W(n?1)]?2?rxd
设k时刻权值误差向量W(k)?W(k)?Wopt，则
W(k)?[I?2?Rxx]W(k?1)?2?rxd?Wopt
2
?W(k?1)?Wopt?2?RxxW(k?1)?2?rxd
?W(k?1)?2?Rxx[W(k?1)?Wopt]?2?rxd ?[W(k?1)?2?RxxW(k?1)]?2?(RxxWopt?rxd)
由维纳-霍夫方程RxxWopt?rxd知，2?(RxxWopt?rxd)?0，所以有
W(k)?[I?2?Rxx]W(k?1)
因为Rxx为Hermite矩阵，所以Rxx可分解为Rxx????H，其中??diag(?1,...?M)，?i为Rxx的特征值，i?1,2,...M，设qi为特征值?i对应的特征向量。所以有
W(k)?[I?2????H]W(k?1)
又因为?为酉矩阵，I???H，所以有
W(k)??[I?2??]?HW(k?1)
令W(k)??HW(k)，则
'W(k)?[I?2??]W(k?1) Wi(k)?(1?2??i)Wi(k?1) Wi(k)?(1?2??i)kW0(k?1)
对于所有的i?1,2,...M，如果|1?2??i|?1，当k??,Wi(k)?0,W(k)?Wopt. 所以LMS算法均值收敛的条件为0???1/?max，其?值越大，收敛速度越快。
'''''''2. 均方误差收敛
由滤波公式及误差公式，得：
e(n)?d(n)?WH(n?1)X(n)
HH?[d(n)?WoptX(n)]?[WH(n?1)X(n)?WoptX(n)]
H?e0(n)?W(n?1)X(n)
其中e0(n)为第n次预测权值最优时的预测误差。
2*E[e2(n)]?E[e0(n)]?E[W(n?1)X(n)XH(n)W(n?1)]?2E[W(n?1)X(n)e0(n)]
HH3
??opt?E[W(n?1)]RxxE[W(n?1)]
??opt??ex
H当n??,?ex?0,E[e2(n)]??opt，LMS算法的均方误差收敛于最优预测权值的最小均方误差。
三、实验结果及分析
1. 单次预测与多次预测取平均结果对比
2?1,??0.02，分别进行单次预测及100次预测对取a1??0.195,a2?0.95,?v2?0.0965,?x其权值和均方误差取平均，对比实验结果。
LMS算法权值收敛图
4
单次LMS平方误差收敛图 多次LMS平方误差收敛图
由图可见，单次LMS算法的权向量不是收敛于最优值的，而是在最优值附近漂移，其平方误差也不是收敛的，而是在最优预测平方误差附近漂移，这是LMS算法每次迭代不严格按照真实梯度方向收敛所引起的。
而多次LMS取平均后，这种随机性得到了抑制，可以看到其权值收敛于最优值。
2. 不同收敛因子?值预测结果对比
2?1，再分别取??0.005,??0.02,??0.05，对比取a1??0.195,a2?0.95,?v2?0.0965,?x实验结果。
??0.005权值收敛图
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