机械振动全章复习资料
一、简谐运动的基本概念 1.定义
物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。 表达式为：F回= -kx（判断一个振动是否是简谐运动的方法） ⑴振动的位移必须是指偏离平衡位置的位移（实质与位置对应）。也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。简谐运动的位移随时间变化的规律是正弦函数（判断一个振动是否是简谐运动的方法）。 ⑵回复力是一种效果力。是振动物体在沿振动方向上所受的合力。
⑶“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）
⑷F=-kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。 例1.简谐运动的判断方法。
两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为K1、K2，它们与一个质量为m的小球组成的弹簧振子，如图1所示。试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。
证明：以平衡位置O为原点建立坐标轴，当振子离开平衡位置O时，因两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的合力。设振子沿X正方向发生位移x，则物体受到的合力为F=F1+F2=-k1x-k2x=-(k1+k2)x=-kx.所以，弹簧振子做的运动是简谐运动。
要判定一个物体的运动是简谐运动，首先要判定这个物体的运动是机械振动，即看这个物体是不是做的往复运动；看这个物体在运动过程中有没有平衡位置；看当物体离开平衡位置时，会不会受到指向平衡位置的回复力作用，物体在运动中受到的阻力是不是足够小。 然后再找出平衡位置并以平衡位置为原点建立坐标系，再让物体沿着x轴的正方向偏离平衡位置，求出物体所受回复力的大小，若回复力为F=-kx,则该物体的运动是简谐运动。 2．简谐运动的规律：
(1)在平衡位置：速度最大、动能最大、动量最大；位移最小、回复力最小、加速度最小。
(2)在离开平衡位置最远时：速度最小、动能最小、动量最小；位移最大、回复力最大、加速度最大。
(3)振动中的位移x都是以平衡位置为起点的，方向从平衡位置指向末位置，大小为这两位置间的直线距离。加速度与回复力、位移的变化一致,在两个“端点”最大，在平衡位置为零，方向总是指向平衡位置。 (4)几个重要的物理量间的关系
简谐运动涉及到的物理量较多，但都与简谐运动物体相对平衡位置的位移x存在直接或间接关系： 如果弄清了上述关系，就很容易判断各物理量的变化情况。
做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x、回复力F、加速度a、速度v这四个矢量的相互关系。 ①由定义知：F∝x，方向相反。
②由牛顿第二定律知：F∝a，方向相同。 ③由以上两条可知：a∝x，方向相反。
④v和x、F、a之间的关系最复杂：当v、a同向（即 v、 F同向，也就是v、x反向）时v一定增大；当v、a反向（即 v、 F反向，也就是v、x同向）时，v一定减小。
例2、弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中（ ） A．振子所受的回复力逐渐增大 B．振子的位移逐渐增大 C．振子的速度逐渐减小 D．振子的加速度逐渐减小。
分析与解：在振子向平衡位置运动的过程中，易知x减小，根据上述关系很容易判断，回复力F、加速度a减小；速度V增大。即D选项正确。
3．从总体上描述振动的物理量
振动的最大特点是往复性或者说是周期性。因此振动物体在空间的运动有一定的范围，用振幅A来描述；在时间上则用周期T来描述完成一次全振动所须的时间。
⑴振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离称为振幅。它是描述振动强弱的物理量。（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的）
⑵周期T和频率f：振动物体完成一次全振动所需的时间称为周期T,它是标量，单位是秒；单位时间内完成的全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹（Hz）。
周期和频率都是描述振动快慢的物理量，它们的关系是：T=1/f. 周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。
任何简谐振动都有共同的周期公式：T?2?m（其中m是振动物体的质量，k是回复力系数，即简谐运动的判定式F=-kx中的比
k例系数，对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。 4.简谐运动的图象： (1)图像
1定义：振动物体离开平衡位置的位移X随时间t变化的函数图象。不是运动轨迹，它只是反映质点的位移随时间的变化规律。 ○
2作法：以横轴表示时间，纵轴表示位移，根据实际数据取单位，定标度，描点，用平滑线连接各点便得图线。 ○
3图象特点：用演示实验证明简谐运动的图象是一条正弦（或余弦）曲线。 ○
(2)简谐运动图象的应用：
1
1可求出任一时刻振动质点的位移。 ○
2可求振幅A：位移的正负最大值。 ○
3可求周期T：两相邻的位移和速度完全相同的状态的时间间隔。 ○
4可确定任一时刻加速度的方向。 ○
5可求任一时刻速度的方向。 ○
6可判断某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。 ○
例3.一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4cm。振子的平衡位置位于x轴上的O点，图中的a、b、c、d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向。图中给出的①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图象的是( AD )
A、若规定状态a时，t=0，则图象为① B、若规定状态b时，t=0，则图象为② C、若规定状态c时，t=0，则图象为③ D、若规定状态d时，t=0，则图象为④
[解析]选A、D。若规定状态a时，t=0。则此时质点位移x=3cm，速度v>0，即为图象①。 若规定状态b时，t=0，则此时质点位移x=2cm，速度v<0，没有与此相应的图象。 若规定状态c时，t=0，则此时质点位移x=-2cm，速度v<0，没有与此相应的图象。 若规定状态d时，t=0，则此时质点位移x=-4cm，速度v=0，即为图象①
[启思](1)回复力和加速度的大小和方向，可以借助该时刻的振动位移来确定。
(2)速度方向，利用该时刻图线的切线斜率判定，斜率大于零说明运动方向为正，斜率小于零，说明运动方向为负。
二、典型的简谐运动 1.弹簧振子 ⑴周期T?2?mk，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。
mk⑵可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是T?2?。这个结论可以直接使用。
⑶在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。（注意水平和竖直弹簧振子振动过程中能量转化的区别）
例4.简谐运动运动过程。一弹簧振子作简谐运动，周期为T ，则下列说法中正确的是（ ）
A、若t时刻和(t+△t)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则△t一定等于T的整数倍； B、若t时刻和(t+△t)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则△t一定等于T/2的整数倍； C、若△t=T，则在t时刻和(t+△t)时刻振子运动的加速度 一定相等； D、若△t=T/2 ，则在t时刻和(t+△t)时刻弹簧的长度一定相等。
分析与解：若t时刻和(t+△t)时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，表明两时刻振子只是在同一位置，其速度方向还可能相反，则△t不一定是T的整数倍，故A选项错误。
若t时刻和(t+△t)时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，这时振子可能处于平衡位置两侧的两个对称的位置上，也可能是两次处于同一位置上，这都不能保证△t一定是T/2的整数倍。故选项B错误。
振子每经过一个周期，必然回到原来的位置，其对应的加速度一定相等。故选项C正确。
经过半个周期，弹簧的长度变化大小相等、方向相反，即一个对应弹簧被压缩，另一个对应弹簧被拉伸，这两种情况下弹簧的长度不相等，可见选项D错误。
综上所述，本题正确答案为C。
例5.简谐运动的对称性如图2所示。弹簧振子在振动过程中，振子经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0.2s,从b再回到a的最短时间为0.4s,则该振子的振动频率为（ ）
A、1Hz; B、1.25Hz; C、2Hz; D、2.5Hz.
分析与解：振子经a、b两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判断a、b两点对平衡位置（O
点）一定是对称的，振子由b经o到a所用的时间也是0.2s,由于“从b再回到a的最短时间是0.4s”,说明振子运动到b后是第一次回到a点，且ob不是振子的最大位移。设图中的c、d为最大位移处，则振子从b经c到b历时0.2s,同理，振子从a经d到a,也历时0.2s,故该振子的周期T=0.8S,根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为1.25Hz.故本题答B.
简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。 理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。
例6。竖直弹簧振子.如图所示，一轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于a位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b位置。现将重球（视为质点）从高于位置的c位置沿弹簧中轴线自由下落，弹簧被重球压缩到最低位置d.以下关于重球运动过程的正确说法应是（ ）
A、重球下落压缩弹簧由a至d的过程中，重球做减速运动。 B、重球下落至b处获得最大速度。 C、重球下落至d处获得最大加速度。
D、由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量。
分析与解：重球由c至a的运动过程中，只受重力作用，做匀加速运动；由a至b的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力大于弹力，做加速度减小的加速运动；由b至d的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力小于弹力，做加速度增大的减速运动。所以重球下落至b处获得最大速度，由a至d过
2
程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量，即可判定B、D正确。
C选项很难确定是否正确，但利用弹簧振子的特点就可非常容易解决这一难题。重球接触弹簧以后，以b点为平衡位置做简谐运动，在b点下方取一点a,,使ab=a,b,根据简谐运动的对称性，可知，重球在a、a,的加速度大小相等，方向相反，如图4所示。而在d点的加速度大于在a,点的加速度，所以重球下落至d处获得最大加速度，C选项正确。
例7.如图所示，质量为m的小球放在劲度为k的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。⑴最大振幅A是多大？⑵在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力Fm是多大？
解：该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力。在平衡位置弹力和重力等大反向，合力为零；在平衡位置以下，弹力大于重力，F- mg=ma，越往下弹力越大；在平衡位置以上，弹力小于重力，mg-F=ma，越往上弹力越小。平衡位置和振动的振幅大小无关。因此振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小。极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，弹力为零，合力就是重力。这时弹簧恰好为原长。
⑴最大振幅应满足kA=mg, A?mg⑵小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有：Fm-mg=mg，Fm=2mg k2.单摆
(1)单摆的概念：在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，线的伸缩和质量可忽略，线长远大于球的直径，这样的装置叫单摆。 (2)单摆的特点：
①单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型;
②单摆的等时性，在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振幅、摆球的质量等无关;
③单摆的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。
(3)当单摆的摆角很小时（小于5°）时，单摆的周期T?2?lg，与摆球质量m、振幅A都无关。其中l为摆长，表示从悬点到摆球质心的距
离，要区分摆长和摆线长。
(4)变形摆，等效摆长和等效重力加速度. 等效摆长＝运动的圆轨迹的半径，
等效重力加速度大小＝摆球稳定在平衡位置时的细线拉力与摆球质量的比值 (5)单摆的应用：
①计时器；摆钟问题。单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：在一定时间内，摆钟走过的格子数n与频率f成正比（n可以是分钟数，也可以是秒数、小时数……），再由频率公式可以得到：n?②测定重力加速度g, g?4?2L（实验：用单摆测重力加速度，原理、操作、数据处理，周期测量、图线处理与讨论） T2f?12?g1?ll
例8.变形摆
(1)小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。
(2)已知单摆摆长为L，悬点正下方3L/4处有一个钉子。让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？ 解：该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动，周期分别为T1?2?T?T1T23???222lglg和T2??lg，因此该摆的周期为 ： (3)固定圆弧轨道弧AB所含度数小于5°，末端切线水平。两个相同的小球a、b分别从轨道的顶端和正中由静止开始下滑，比较它们到达轨道底端所用的时间和动能：ta＿＿tb，Ea＿＿2Eb。
解：两小球的运动都可看作简谐运动的一部分，时间都等于四分之一周期，而周期与振幅无关，所以ta= tb；从图中可以看出b小球的下落高度小于a小球下落高度的一半，所以Ea>2Eb。
例9.如图所示，光滑的弧形槽的半径为R（R远大于弧长MN），A为弧形槽的最低点。小球B放在A点正上方离A点的高度为h，小球C放在M点。同时释放两球，使两球正好在A点相碰，则h应为多大？
错解 :对B球，可视为单摆，延用单摆周期公式可求C球到达O点的时间：tC?对B球，它做自由落体运动，自h高度下落至O点tB?要求两球相碰，则应有tB=tC,即2h??g22h. gTC??42R g?2R，解得：h?R。
8g分析纠错：上述答案并没有完全错，分析过程中有一点没有考虑，即是振动的周期性，因为C球在圆形轨道上自C点释放后可以做往复的
周期性运动，除了经过TC/4时间可能与A相碰外，经过t=TC/4+NtC(N=0,1,2……)的时间都可以与A相碰。正确答案是：
1h??2(2n?1)2R (n=1,2,3,4……) 8例10.单摆测山高（单摆与万有引力）
有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T0。当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T.求该气球此时离海平面的高度h。把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。
分析与解：设单摆摆长为L，地球的质量为M，则据万有引力定律可得地面的重力加速度和高山上的重力加速度分别为g?G据单摆的周期公式可知T0?2?LLT,由以上各式可求得h?(?1)R ,T?2?T0gghMM,gh?G 2R(R?h)2 3
例11.单摆与碰撞
如图中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则（ ） A、如果mA>mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧； B、如果mA C、无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞不可能在平衡位置右侧； D、无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞不可能在平衡位置左侧 。 分析与解:由于碰撞后两摆球分开各自做简谐运动的周期相同，任作出B球的振动图象如图6所示，而A球碰撞后可能向右运动，也可能向左运动，无论两摆球的质量之比是多少，从此次碰撞到下一次碰撞之间经历的时间是都是半个周期，只能发生在平衡位置。即CD选项正确。 三、受迫振动与共振 1.阻尼振动：振幅不断减小的振动.若阻尼振动具有周期性. 2.受迫振动 物体在驱动力（既周期性外力）作用下的振动叫受迫振动。 ⑴物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。 ⑵物体做受迫振动的振幅由驱动力频率和物体的固有频率共同决定：两者越接近，受迫振动的振幅越大，两者相差越大受迫振动的振幅越小。受迫振动是等幅振动，振动物体因克服摩擦或其它阻力做功而消耗振动能量刚好由周期性的驱动力做功给予补充，维持其做等幅振动。 3.共振 (1)共振现象：在受迫振动中，驱动力的频率和物体的固有频率相等时，振幅最大，这种现象称为共振。 (2)产生共振的条件：驱动力频率等于物体固有频率。 ①利用共振的有：共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千、收音机、…… ②防止共振的有：机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢、…… 例12.把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。不开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15s；在某电压下，电动偏心轮的转速是88r/min。已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。为使共振筛的振幅增大，以下做法正确的是（ ） A.降低输入电压 B.提高输入电压 C.增加筛子质量 D.减小筛子质量 解：筛子的固有频率为f固=4/3Hz，而当时的驱动力频率为f驱=88/60Hz，即f固< f驱。为了达到振幅增大，应该减小这两个频率差，所以应该增大固有频率或减小驱动力频率。本题应选AD。 例13.将一个力电传感器接到计算机上，可以测量快速变化的力。用这种方法测得的某单摆摆动过程中悬线上拉力大小随时间变化的曲线如右图所示。由此图线提供的信息做出下列判断： ①t＝0.2s时刻摆球正经过最低点；②t＝1.1s时摆球正处于最高点； ③摆球摆动过程中机械能时而增大时而减小；④摆球摆动的周期约是T＝0.6s。 上述判断中正确的是（ ） A.①③ B.②④ C.①② D.③④ 解：注意这是悬线上的拉力图象，而不是振动图象。当摆球到达最高点时，悬线上的拉力最小；当摆球到达最低点时，悬线上的拉力最大。因此①②正确。从图象中看出摆球到达最低点时的拉力一次比一次小，说明速率一次比一次小，反映出振动过程摆球一定受到阻力作用，因此机械能应该一直减小。在一个周期内，摆球应该经过两次最高点，两次最低点，因此周期应该约是T＝1.2s。因此答案③④错误。本题应选C。 例14.如图所示为一单摆的共振曲线，则该单摆的摆长约为多少？共振时摆球的最大速度大小是多少？（g取10m/s2） 分析与解：这是一道共振曲线所给信息和单摆振动规律进行推理和综合分析的题目。由题意知，当单摆共振时频率f=0.5Hz,即f固?0.5Hz,振幅A=8cm=0.08m由T?2?gL得L?22?1.0m 4?fg121?cos?m)?2sin2根据机械能守恒定律可得mVm2?mgL(1?cos?),且（?m2?A2g?0.25m/s. 解得Vm?A22LL 4
机械振动复习资料要点
